下面是小编为大家整理的海因定理 数列极限例题和习题,供大家参考。
第1-7节数列极限的例题和习题
下面的例题和习题都是数列极限理论中的著名习题，初学者能够完全读懂其中例题的*是不容易的，能够*完成后面那些习题就更不容易.因此，你可以先粗读一下(因为不管你读懂多少，都暂时不会影响到你学习微积分)，有兴趣的读者等有空时或假期中再去细读它.读一读它，你会在做题方法上受到严格的训练.
称一个数列xn(n=1,2,)为无穷小量，即limxn=0，用“ε-n”说法，就是它满足条
n→∞
件：
n→∞
称一个数列xn(n=1,2,)为无穷大量，即limxn=∞，用“m-n”说法，就是它满足条件：
特别，limx
n=+∞，就是它满足条件：
n而limxn=-∞，就是它满足条件：
n→∞
无穷大量与无穷小量是两个对偶的概念，即当xn≠0(n=1,2,)时，
若xn是无穷大量，则
11是无穷小量；
若xn是无穷小量，则是无穷大量.xnxn
在第0章(看我做题)中，那些有关数列极限的习题，如果说可以凭借直觉和四则运算规则能够做出来的话，那么下面这些结论，就必须用“ε-n”说法才能够*.你看一看其中的*，可以学习到如何用“ε-n”说法做数列极限*题的方法.
例1设有数列xn(n=1,2,).*：若有极限limxn，则算术平均值的数列
n→∞
yn=
也有极限且lim
x1+x2++xn
(n=1,2,)
n
x1+x2++xn
=limxn.
n→∞n→∞n
n→∞
*设limxn=a.考虑
yn-a=
x1+x2++xn(x-a)+(x2-a)++(xn-a)
-a=1
nn
任意给定正数ε.因为limxn=a，所以有正整数n1使|xn-a|≤
n→∞
ε
2
(n≥n1).于是，
第1章函数的极限和连续函数25
yn-a=
x1+x2++xn(x-a)+(x2-a)++(xn-a)
-a=1
nn
(x1-a)+(x2-a)++(xn1-1-a)+(xn1-a)++(xn-a)
=
n
(x1-a)+(x2-a)++(xn1-1-a)(n-n1+1)ε≤+⋅
nn2
(x1-a)+(x2-a)++(xn1-1-a)ε≤+
n2
再取正整数n≥n1足够大，使当n≥n时，右边第一项也小于ε2.这样，当n≥n时，就会有|yn-a|≤
ε2+ε2=ε，即*了有极限
lim
x1+x2++xn
=a=limxn
n→∞n→∞nx1+x2++xnlim请注意：有极限，不一定有极限limxn！考虑数列．．．n→∞n→∞n
1-(-1)n
xn:1,0,1,0,1,0,,,
2
【应用】作为例1的应用，例如
1111++++
1=lim1.⑴lim=lim=0；
⑵
limn→∞nn→∞n→∞nn例2若xn>0(n=1,2,)且有极限limxn，则几何平均值的数列
n→∞
zn=x1x2xn(n=1,2,)
也有极限且=limxn.
nn→∞
*根据极限单调*，必有limxn≥0.首先设limxn=0，ε为任意给定的正数.先取正
n→∞
n→∞
整数n1使xn≤η=ε2(n>n1)，则
≤=η
n-n1
n
→η=
ε
2
(n→∞)
(你知道为什么吗？见第0章题33)
因此，必有正整数n≥n1，使当n≥
n≤ε，即
n=0=limxn
n→∞
【注】假若你知道“几何平均值不超过算术平均值”的话,根据例1的结论,则有
x1+x2++xn
→0(n→∞)
n
25
所以=0=limxn.
nn→∞
其次，设limxn=a>0，ε为任意给定的正数(不妨认为ε
n→∞
xn
=1，所以有n→∞a
正整数n使
1-ε≤
从而有
xn
≤1+ε(n>n)a
n-nn-n
zn(1-ε)n≤=≤(1+ε)na让n→∞，则得
zn
≤1+ε(你知道为什么吗？见第0章题33)
n→∞a
z
由于正数ε可以任意地小，故有limn=1，即=a=limxn
n→∞ann→∞
x
【应用】作为上述结论的应用，若xn>0(n=1,2,)且有极限limn+1，则也有极限
n→∞xn
1-ε≤lim
n
lim
nlim=lim
xn+1
n→∞
xn
这是因为
n=nxxlimn=
limn+1例2)n→∞xn-1n→∞xn
请你根据lim⑴n=
lim
xn+1
，求极限：
n→∞xn
ee)
；
⑵).
nn4
例3设有数列xn(n=1,2,).
⑴若limxn=0，则必有单调增大数列yn，使limyn=+∞且lim(ynxn)=0；
n→∞
n→∞n→∞
⑵若limxn=+∞，则必有单调减小数列yn，使limyn=0且lim(ynxn)=+∞.
n→∞
n→∞
n→∞
*下面*⑴.你可用类似的方法*⑵.
设limxn=0.根据数列极限的定义，必有正整数n1使|xn|≤
n→∞
1
(n≥n1)；
同理，必有2
正整数n2>n1使|xn|≤
1
(n≥n2).一般地，必有正整数nk+1>nk使22
26
第1章函数的极限和连续函数27
1
(n≥nk+1;k=1,2,)k+12
现在，当n xn≤ n→∞ |ynxn|=|yn||xn|≤ 所以有 k (nk≤n k =0(见第0章题32) k→∞2k 0≤lim|ynxn|≤lim n→∞ 即lim(ynxn)=0. n→∞ 【注】这里是根据数列极限的定义,构造出了一个满足题中要求的数列yn.在数学中,称这种*方法为“构造**”. 例4海因定理(函数极限与数列极限的关系) (1)有极限limf(x)=a的充分必要条件是：对于以a为极限的任何数列xn(≠a)，都有极 x→a 限limf(xn)=a; n→∞ (2)有极限limf(x)=a的充分必要条件是：对于任何数列xn→∞(n→∞)，都有极限 x→∞ n→∞ limf(xn)=a. *为简单起见，下面*结论(1).你可用类似的方法*结论(2). 设ε为给定的任意正数.若limf(x)=a，则有正数δ， x→a (※)当0 又因为xn≠a且limxn=a，所以有正整数n，当n≥n时，0 n→∞ |f(xn)-a|≤ε 即limf(xn)=a. n→∞ 反之，设上面(1)中的条件满足.(反*法)假若a不是函数f(x)在点a的极限，用“ε-δ”的话说，就是：至少有一个正数ε0，不论取正数δ多么小，总有对应的点xδ，使0ε0. )时，就会有相对应的点xn(n=1,2,)，使于是，当取正数δn=n(n=1,2, 1 ，但f(xn)-a>ε0>0.n 这说明，虽然有limxn=a，但a不是数列f(xn)的极限，这与假设limf(xn)=a矛盾. 0 n→∞ n→∞ 【注】海因定理就像是架在函数极限与数列极限之间的一座“桥梁”，沟通了两者之间的关系.因此，不仅可以把数列极限看作函数极限的特例，而且函数极限的某些结论，根据海因定理， 27 可以用数列极限的相应结论来*.在有的微积分教科书中，先讲数列极限的理论，然后根据海因定理，把有关数列极限的结论转移到函数极限上. 回答问题 ⑴一个数列xn(n=1,2,)的前面有限个项(如x1,x2,,xm)，对该数列是否有极限或有极限时的极限值有影响吗？ ⑵正数数列的极限一定是正数吗？ ⑶若xn>yn(n=1,2,)且有极限limxn与limyn，则有limxn>limyn还是有 n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ limxn≥limyn？ n→∞ n→∞ ⑷有界数列一定有极限吗？无界数列一定没有极限吗？ ⑸若数列xn和yn都没有极限，那么数列(xn+yn)与xnyn一定也没有极限吗？⑹若数列xn有极限，而数列yn没有极限，那么你对数列(xn+yn)是否有极限，可以做出什么结论？ ⑺若limxn=c，则必有limxn=c吗？反之如何？ n→∞ n→∞ 1的极限是0； n→∞ 不一定有极限，例如xn=(-1)n就没有极限； 习题·提示和选解 1.下面的习题都出现在第0章(看我做题)中，你不会做时，可去再看一下那里的做法.*： ⑴ lim⎛⎫； n an =0； n→∞n!n→∞n→∞ 1⋅3⋅5⋅⋅(2n-1)=0； ⑹⑸lim1. n→∞2⋅4⋅6⋅⋅(2n)n2.*： k=n k1k21 =； 3⑴lim∑2=； n→∞n→∞k=13n+k69k=13n+k k=nk=n=1； ⑷lim⑶lim∑=1. n→∞n→∞k=k=k=n 提示:用夹挤规则*. 28 第1章函数的极限和连续函数29 3.*：若limxn=+∞，则也有lim n→∞ x1+x2++xn =+∞. n→∞n 提示：参考例1的*. 4.设有limxn=a,limyn=b.*： n→∞ n→∞ x1yn+x2yn-1++xny1 =ab n→∞nlim 提示：设xn=a+αn(limαn=0),yn=b+βn(limβ0)，则n= n→∞ n→∞ xkyn-k+1=(a+αk)(b+βn-k+1)=ab+aβn-k+1+bαk+αkβn-k+1 于是， x1yn+x2yn-1++xny1=∑xkyn-k+1=nab+a∑βn-k+1+b∑αk+∑αkβn-k+1 k=1 k=1 k=1 k=1 k=n k=n k=n k=n 5.设yn>0(n=1,2,)且y1+y2++yn=sn→+∞(n→∞).*：若有极限limxn， n→∞ 则也有极限 x1y1+x2y2++xnyn =limxn n→∞n→∞y1+y2++ynlim 提示：设limxn=c，则xn=c+αn(limαn=0).于是， n→∞ n→∞ k=n x1y1+x2y2++xnyn = y1+y2++yn 6.设yn>0(n=1,2,)且 k=1 ∑xkyk sn = k=nk=1 k=n ∑(c+αk)yk sn =c+ ∑αkyk k=1 sn y1+y2++yn=sn→+∞(n→∞) *：若有极限lim n→∞ xn ，则也有极限yn n→∞ lim x1+x2++xnx =limn y1+y2++ynn→∞yn 提示：用xnyn替换上一题中的xn. 7.施笃兹(stolz)定理若数列xn与yn满足条件：(i)y1 n→∞ (ii)有极限lim则也有极限lim n→∞ xn-xn-1 ; yn-yn-1 xnxx-xn-1 ，且limn=limn. n→∞yn→∞y-yn→∞ynnn-1n *令z1=y1,zn=yn-yn-1(n=2,)，则zn>0(n≥2)且 29 sn=z1+z2++zn=yn→+∞(n→∞) 再令w1=x1,wn=xn-xn-1(n=2,3,)，则 w1+w2++wnxn =（※） z1+z2++znynwx-xn-1 根据假设条件(ii)，有极限limn=limn，而根据上式(※)和题6，则有极限 n→∞y-yn→∞znn-1n xw+w2++wnwx-xn-1limn=lim1=limn=limnn→∞yn→∞z+z++zn→∞zn→∞y-yn12nnnn-1 【注】作为施笃兹定理的应用，则有 np1p+2p++np (p为正整数)=limp+1lim n→∞nn→∞-(n-1)p+1np+1 1np ==lim n→∞p+1⎡p+1p+1(p+1)pp-1pp+1⎤n-⎢n-(p+1)n+n-+(-1)⎥ 2!⎣⎦ 8.设有数列xn(n=1,2,).*：若lim(xn-xn-2)=0，则 n→∞ xn-xn-1 =0 n→∞n *设ε为任意给定的正数.因为lim(xn-xn-2)=0，所以有正整数k，使 lim n→∞ xn-xn-2≤ 于是，当n≥k时， ε 2 （n≥k） xn-xn-1=(xn-xn-2)-(xn-1-xn-2)=(xn-xn-2)+(-1)[(xn-1-xn-3)-(xn-2-xn-3)] =(xn-xn-2)+(-1)(xn-1-xn-3)+(-1)2(xn-2-xn-3) =(xn-xn-2)+(-1)(xn-1-xn-3)+(-1)2[(xn-2-xn-4)-(xn-3-xn-4)] =(xn-xn-2)+(-1)(xn-1-xn-3)+(-1)2(xn-2-xn-4)+ +(-1)n-k-1(xk+1-xk-1)+(-1)n-k(xk-xk-1) 因此，当n≥k时，xn-xn-1≤(n-k)+xk-xk-1，从而有 ε 2 xn-xn-1n-kεxk-xk-1εxk-xk-1 ≤+≤+(n≥k)nn2n2n xk-xk-1ε nn≥n≤.于是，当n≥n(≥k)时，(≥k)再取正整数足够大，使当时， n2 xn-xn-1εxk-xk-1εε ≤+≤+=εn2n22 x-xn-1 即limn=0.n→∞n 30
⑶limxn≥limyn；
⑷有界数列n→∞
无界数列一定没有极限，因为有极限的数列是有界数列；
⑸不一定，例如xn=(-1)n,yn=(-1)n-1，则(xn+yn)与xnyn都有极限；
⑹一定没有极限.(反*法)若(xn+yn)有极限，则yn=(yn+xn)-xn也有极限，与数列yn没有极限矛盾.⑺是，因为|xn|-|c|≤xn-c；
反之不成立.
++=1n→∞n
⑵lima+b=max{a,b}(其中a>0,b>0)；
⑶limn=1；
⑷lim
⑵lim∑
第2篇：考研数学的极限计算的答题技巧
摘要：极限的计算可以说是考研数学中一个必出的考点，它以怎样的形式出现还会是很多研友们的困扰。
极限是考研数学每年必考的内容，在客观题和主观题中都有可能会涉及到，平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础*，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大。极限的计算是核心考点，考题所占比重最大。熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键。
常见题型
极限无外乎出这三个题型：求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数。熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键，极限的运算法则必须遵从，两个极限都存在才可以进行极限的运算，如果有一个不存在就无法进行运算。以下我们就极限的内容简单总结下。
常用计算方法
极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续*求极限等方法。
四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度；
在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效；
夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算；
单调有界收敛定理可用来*数列极限存在，并求递归数列的极限。
与极限计算相关知识点
1、连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限；
2、渐近线，(垂直、水平或斜渐近线)；
3、多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查*极限不存在。
数列极限的典型方法
下面我们重点讲一下数列极限的典型方法。求数列极限可以归纳为以下三种形式。
1、抽象数列求极限
这类题一般以选择题的形式出现，因此可以通过举反例来排除。此外，也可以按照定义、基本*质及运算法则直接验*。
2、求具体数列的极限，可以参考以下几种方法：
a.利用单调有界必收敛准则求数列极限
首先，用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调*和有界*，进而确定极限存在*；
其次，通过递推关系中取极限，解方程，从而得到数列的极限值。
b.利用函数极限求数列极限
如果数列极限能看成某函数极限的特例，形如，则利用函数极限和数列极限的关系转化为求函数极限，此时再用洛必达法则求解。
3、求n项和或项积数列的极限，主要有以下几种方法：
a.利用特殊级数求和法
如果所求的项和式极限中通项可以通过错位相消或可以转化为极限已知的一些形式，那么通过整理可以直接得出极限结果。
b.利用幂级数求和法
若可以找到这个级数所对应的幂级数，则可以利用幂级数函数的方法把它所对应的和函数求出，再根据这个极限的形式代入相应的变量求出函数值。
c.利用定积分定义求极限
若数列每一项都可以提出一个因子，剩余的项可用一个通项表示，则可以考虑用定积分定义求解数列极限。
d.利用夹逼定理求极限
若数列每一项都可以提出一个因子，剩余的项不能用一个通项表示，但是其余项是按递增或递减排列的，则可以考虑用夹逼定理求解。
e.求n项数列的积的极限
一般先取对数化为项和的形式，然后利用求解项和数列极限的方法进行计算。
第3篇：奥数专题之数列求和练习题参考
1、1＋2＋3＋…＋1999
2、2＋5＋8＋…＋299
3、求数列6，9，12，…前100个数的和。
4、如果一个等差数列的首项是5，公差是2，那么它的第10项、第15项各是多少？
5、一个剧场设有20排座位，后一排都比前一排多10个座位。最后一排有250个座位，问这个剧场一共有多少个座位？
6、求所有加6以后被11整除的三位数的和。
7、求1至100以内所有不能被5或7整除的三位数的和。
8、15个连续奇数的和是1995，其中最大的的奇数是多少？
9、计算：11＋14＋17＋…＋101
10、求从1开始连续100个奇数的和。
11、平面上共有50个点，没有3个点在同一直线上，试问，过这些点最多可以画出多少条直线？
12、在1至200这200个自然数中，所有能被4整除或能被11整除的数的和是多少？
13、小明练习打算盘，他按照自然数的顺序从1开始求和，当加到某个数时，和是1997，但他发现计算时少加了一个。问：小明少加了哪个数？
14、学位进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了78场比赛，有多少人参加了选拔赛？
15、有数字塔如下图：
1
234
56789
10111213141516
171819202122232425
……
求第100层中间的数是多少？