摘 要：整除是初等数论中的基本概念，也是整个数学的基础知识。本文主要讨论了初等数论中的整除问题及应用。
关键词：初等数论 整除 整除特征
中图分类号：O13 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）01（a）-0154-01
整除问题是数学学习的一大方面，无论小学，还是中学，甚至大学数学都有关于整除的问题。理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征，可以简单快捷地解决许多整除问题。以下本文对整除问题进行了整理，以方便关于整除问题的学习。
1 整除的概念
设a，b是任意两个整数，其中b≠0，如果存在一个整数q使得等式a=bq成立，我们就说b整除a或a被b整除，记作b|a，此时我们把b叫作a的因数，把a叫作b的倍数。
如果a=bq里的整数q不存在，我们就说b不能整除a或a不能被b整除，记作ba。注：a，b作除数的其一为0则不叫整除。
2 整除的性质
性质1：若a是b的倍数，b是c的倍数，则a是c的倍数，即，c|b，b|ac|a。
性质2：若a，b都是c的倍数，则（a+b）也是c的倍数。即，c|a，c|bc|（ab）。
性质3：若，，…，都是m的倍数，，，..是任意n个整数，则+ +…+是m的倍数。即，对，…，Z，有m|++…+。
性质4：几个整数相乘，若其中有一个因子能被某一个数整除，那么它们的积也能被该数整除。即，若a|b，则a|bcd。
性质5：若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除。即，若a|b，c|b，（a，c）=1，则ac|b。
性质6：若一个数能被两个互质数的积整除，那么，这个数也能分别被这两个互质数整除。
即，若ac|b，（a，c）=1，则a|b，c|b。
性质7：若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。即，若p|ab，则p|a或p|b（p为质数）。
性质8：若a|b，m≠0，则am|bm。
性质9：若am|bm，m≠0，则a|b。
3 整除特征
特征1：任何整数都能被1整除；0能被任何非零整数整除。
特征2：若一个整数的末位数是0、2、4、6、8，则这个整数能被2整除。
特征3：若一个整数的各位数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
特征4：若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
特征5：若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
特征6：若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
特征7：若把一个整数的个位数字截去，再从余下的数中减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。
特征8：若一个整数的末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
特征9：若一个整数的各位数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
特征10：若一个整数的末位是0，则这个数就能被10整除。
特征11：若一个整数的奇数位之和与偶数位之和的差能被11整除，则这个数就能被11整除。
4 整除问题的应用举例
例1：判断123456789这个九位数能否被3，9，11整除？
解：∵1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，且 3|45，9|45，
∴这九位数能被3和9整除。
这个九位数奇数位上的数字之和是9+7+5+3+1=25，偶数位上的数字之和是8+6+4+2=20，∵25—20=5，又∵115，∴11123456789。
例2：设72|，试求的a，b值。
解：72=8×9，且（8，9）=1
∴只需讨论8、9都整除时a，b的值。
∵8|，则8|，由除法可得b=2。
∵9|，则9|（a+6+7+8+2），得a=3。
∴a=3 b=2
例3：证明3|n（n+1）（2n+1），其中n是任何整数。
证：法一：n（n+1）（2n+1）
= n（n+1）（n+2+n-1）
= n（n+1）（n+2）+（n-1）n（n+1）
∵3|n（n+1）（n+2）且3|（n-1）n（n+1）
∴3|〔n（n+1）（n+2）+（n-1）n（n+1）〕
即：3|n（n+1）（2n+1）。
法二：若n是3的倍数，或n+1是3的倍数，结论显然成立。
若n，n+1都不是3的倍数，则n+2一定是3的倍数，设n+2=3k，k∈Z，则n=3k-2。
∴2n+1=2（3k-2）+1=3（2k-1），即2n+1是3的倍数。
从而，3|n（n+1）（2n+1）。
例4：设p是质数，证明满足=p的正整数a，b不存在。
证：假定存在正整数a，b使得=p.
令（a，b）=d，a=d，b=d。则（，）=1
∴=，
∵p是质数
p|，令=p，则
∴p=即=p
同理可得，p|即：
，都含有p这个因子，与（，）=1矛盾。
∴满足=p的正整数a，b不存在。
以上，通过对整除概念、性质及特征的理解，利用整除的性质和特征解决一些实际问题，为学好初等数论打下坚实基础。本文对整除问题只是稍有整理，对整个整除问题的梳理还有待去解决。
参考文献
[1]单墫.初等数论[M].南京：南京大学出版社，2000.
[2]闵嗣鹤，严士键.初等数论[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.