下面是小编为大家整理的微积分知识及答题技巧,供大家参考。
定积分部分 一、 第一积分中值定理 【定理】：设 f(x)、g(x)在[a,b]上连续，g(x)在[a,b]上不变号，则至少存在一点 （a,b），使得 babadx x g f dx x g x f ) ( ) ( ) ( ) ( 。注意取 g(x)=1 即可以得到我们熟悉的积分中值定理。
【用途】：处理一些定积分证明题可以用上。
二、量 一种含变量 x 的积分 上限函数的求导公式 ) ( ) ( ) ( ) ( ] ) ( ) ( [ x f x g dt t f x g dt x g t fxaxa 三、 函数和原函数之间的关系 1、周期函数的原函数不一定是周期函数 【举例】：y=cosx+1 的原函数是 y=sinx+x，不是周期函数。
【推论】周期奇函数的原函数一定是周期函数。（证明略）。
2、奇函数的原函数组（即不定积分 C 取任何值）都是偶函数，但偶函数的原函数组中只有一个是奇函数。
四、 几个重要的广义积分结论 1、 ）
0 (10 ppdx epx
2、 02 2sinw pwwxdx epx（p>0；w>0) 2、202 π dx ex< 1
4、 ! 1 ) ln10n dx xnn （
五、）
周期函数的定积分技巧（可用来快速解决课本上一道较难的周期定积分题）
设周期函数周期为 T，周期函数为 f(x)有：
1、 T aaTdx x f dx x f0) ( ) ( （周期函数任意一个周期内的积分是不变的）
2、 nT Tdx x f n dx x f0 0) ( ) ( （n 是正整数）
3、设 ) (x f 是以周期 T 为周期的周期函数，则它的积分上限函数 F(x)= xadt t f ) ( 也是以 T为周期的周期函数的充要条件是：
Tdx x f00 ) ( （即函数在一个周期长上的定积分为 0）
六、常 一个非常 OP 的定积分变换等式（处理一些复杂问题时常用）
定理：
babadx x b a f dx x f ) ( ) (
几何解释：曲线 y=f(x)和 y=f(a+b-x)关于直线2) ( b a 对称。
七、 一个定积分计算体积的公式 f（x）在[a,b]上与 x 轴围成的曲边梯形（f(x)>=0）绕 y 轴旋转一周的体积公式：
V= dx x xfba) ( 2 （证明方法略）
多元函数微积分部分 一、 二次极限和二重极限 【定理】二重极限大家都知道，就是二元函数的极限。这里不介绍。二次极限的定义我们也不介绍没必要了解，只要知道二次极限的计算方法和它与二重极限的关系：
二次极限的计算方法：求函数 f(x,y）在点（x0,y0）处的二次极限，则先将 y 固定，即求：) ( ) , ( lim0y g y x fx x，再求 ) ( lim0y gy y，这样得到的答案为二次极限。
注意二次极限有两个值，一个是先 x 再 y 得到的 A y x fy y x x ) , ( lim lim0 0,另一种是先 y 再 x 得到的 B y x fx x y y ) , ( lim lim0 0。现在再设二重极限 C y x fy yx x) , ( lim00，现在叙述它们的关系：
1、如果 A、B 都存在且 A B，二重极限 C 不存在。（常用定理）
2、如果 C 存在且 A、B 中至少有一个存在，则二重极限 C=（A、B 中存在的那一个）。
3、如果 A、B、C 均存在，则 A、B、C 均相等。
4、如果 A、B 存在，但 C 存在与否并不知道，那么即使 A=B，也不能判断 C 存在。
【注】引入这个二次极限的处理是因为咱们书上的二重极限求解方法经常涉及到放缩，放缩需要比较高的思维水平，难度较大。而二次极限的方法要简单一点，处理起来要快。
二、 多元函数几个概念之间的层次关系
【注】：箭头都是单向的。没有箭头的两个概念之间，除了上层推下层以外，无相关关系。例如可偏导和有极限之间并没有必然关系。
无穷级数部分 一、 数列中的斯托尔茨定理 【定理】设数列{yn}单调递增，且 nny lim ，则当1 1lim n nn nny xy x存在或为∞时，有： nnnyxlim1 1lim n nn nny xy x 【推论】
有极限 连续 可微 偏导数连续 可偏导
1、若nnx lim 存在，则 nx x xnn2 1limnnx lim （数列前 n 项算术平均值的极限=数列的极限）
2、若nnx lim 存在且 0 nx ，则nnnnx x x x 2 1lim （正项数列前 n 项的几何平均值的极限=数列的极限）
3、若 0 lim1 nnnnxxx存在且 ，则nnnnnnxxx1lim lim
【注】斯托尔茨定理可以用来计算一些难度较大的无穷级数的极限。
二、p 级数和交错 p 级数的收敛情况 【注】：p 级数和交错 p 级数常用在无穷级数问题处理之中，故在此做出分析：
1、p 级数 【公式】：
11npn
【收敛情况】：当 p>1 时收敛，当 p<=1 时发散。
2、交错 p 级数 【公式】：
11 - n11npn 【收敛情况】：当 p>1 时绝对收敛；当 0<p<=1 时条件收敛；当 p<=0 时发散。
【注】：交错调和级数 2 ln11 -11nnn< 1 三、 积分审敛法 【定理】设函数 f(x)在[1,+∞）上非负且连续，则正项级数 1 n) (n f 与广义积分 1) ( dx x f 有相同的敛散性。
【注】由于函数的定积分比数列的和更容易去求，所以积分审敛法适用于不太好处理又不能求和后审敛的无穷级数的敛散性判断。
四、 正项级数里面常用的几个不等式关系（用来判断敛散性）
【注】：下列级数都默认为正项级数。
1、n n n nv u v u
2、 22121nnnnvuvu 3、 2 2 22n n n nv u v u
4、b av ubvaun n n n 2222（权方和不等式推导）
五、 判断一个任意级数收敛的步骤总结
六、用 三个常用 p 级数的和 1、61212 nn
2、 12112211 nnn
3、 C nnn ln11（C=0.5772……，C 叫做欧拉常数，为无穷不循环小数）
七、 幂级数中的阿贝尔定理 1、若 00nnn xa 收敛，且 | | | |0x x ，则 0 nnn xa 绝对收敛。
2、若 00nnn xa 发散，且 | | | |0x x ，则 0 nnn xa 也发散。
【注】：这个定理是告诉我们，对于一个幂级数，比收敛的点更接近原点的点，也是收敛点。比发散的点更远离原点的点，也是发散点。这个定理可以用来快速判断一些点的敛散性。
八、 缺项的幂级数的收敛半径的确定方法 【定理】若幂级数缺项，即成如下形式：
是非负整数）
是正整数，k m x ank mnn(0，则先求 0 nnn xa 的收敛半径1，则此时可以得到mnk mnn xa10的收敛半径为。
九、 幂级数求和以及函数展开成幂级数中的几个常用级数和技巧 1、（1）先积分再求导
（2）先求导再积分
2、一些常见的幂级数综合关系式（记住其中几个常用的就行了）
微分方程部分 一、 伯努利方程的通解形式（最好掌握推导方法，掌握）
不了就背这个通解结论）
【注】：
二、 全微分方程（恰当方程）的微分解 【定理】以二阶为例，设某个二阶函数 u(x,y)的偏导数 ByuAxu, （A，B 不一定是常数，也可能是含 x,y 的表达式），则这样一个微分方程：
0 Bdy Adx 就叫做全微分方程。这里直接给出求其通解的结论，不进行推导：
通解（其中 p(x,y)=A;Q(x,y)=B)：
也可以写成：
【注】：如果没有指明 x 和 y 的范围，则认为表达式中（x0,y0)=(0,0)，即从原点出发。（由于涉及到高等数学中的曲线积分的知识，这里不去叙述 x0,y0 是什么意思）
所以对于一般情况下，只要没给定 x,y 的取值范围，其通解就可以进一步写成：
x yC dy y x Q dx x P0 0) , ( ) 0 , (
全微分方程（恰当方程）在处理一些比较复杂的微分方程中有奇效，举个例题：
【题】：求该微分方程的通解：
0 ) ( ) (2 dy y x dx y x
解：令 ) ( ) , ( , ) , (2y x y x Q y x y x P ，则 1 yPxQ（判断是全微分方程的充要条件，就是两个偏导数相等）见该方程是全微分方程，于是有 2 3) ( ) ( ) ( ) , (2 302) , () 0 , 0 ( 02yxyxdy y x dx x dy y x dx y x y x uy y x x 所以原方程通解为：
cyxyx 2 32 3。
作者：稀饭
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