应用回归分析心得体会（14篇）

时间：2022-12-17 09:30:04 来源：网友投稿

应用回归分析心得体会（14篇）应用回归分析心得体会　　.　　一、什么是回归分析回归分析(RegressionAnalysis)是研究变量之间作用关系的一种统计分析方法，其基本组成是一个（下面是小编为大家整理的应用回归分析心得体会（14篇）,供大家参考。

应用回归分析心得体会（14篇）

篇一：应用回归分析心得体会

　　一、什么是回归分析回归分析(RegressionAnalysis)是研究变量之间作用关系的一种统计分析方法，其基本组成是一个（或一组）自变量与一个（或一组）因变量。回归分析研究的目的是通过收集到的样本数据用一定的统计方法探讨自变量对因变量的影响关系，即原因对结果的影响程度。回归分析是指对具有高度相关关系的现象，根据其相关的形态，建立一个适当的数学模型(函数式)，来近似地反映变量之间关系的统计分析方法。利用这种方法建立的数学模型称为回归方程，它实际上是相关现象之间不确定、不规则的数量关系的一般化。二、回归分析的种类1.按涉及自变量的多少，可分为一元回归分析和多元回归分析一元回归分析是对一个因变量和一个自变量建立回归方程。多元回归分析是对一个因变量和两个或两个以上的自变量建立回归方程。2.按回归方程的表现形式不同，可分为线性回归分析和非线性回归分析若变量之间是线性相关关系，可通过建立直线方程来反映，这种分析叫线性回归分析。若变量之间是非线性相关关系，可通过建立非线性回归方程来反映，这种分析叫非线性回归分析。三、回归分析的主要内容1.建立相关关系的数学表达式。依据现象之间的相关形态，建立适当的数学模型，通过数学模型来反映现象之间的相关关系，从数量上近似地反映变量之间变动的一般规律。2.依据回归方程进行回归预测。由于回归方程反映了变量之间的一般性关系，因此当自变量发生变化时，可依据回归方程估计出因变量可能发生相应变化的数值。因变量的回归估计值，虽然不是一个必然的对应值(他可能和系统真值存在比较大的差距)，但至少可以从一般性角度或平均意义角度反映因变量可能发生的数量变化。3.计算估计标准误差。通过估计标准误差这一指标，可以分析回归估计值与实际值之间的差异程度以及估计值的准确性和代表性，还可利用估计标准误差对因变量估计值进行在一定把握程度条件下的区间估计。四、一元线性回归分析1.一元线性回归分析的特点1)两个变量不是对等关系，必须明确自变量和因变量。2)如果x和y两个变量无明显因果关系，则存在着两个回归方程：一个是以x为自变量，y为因变量建立的回归方程；另一个是以y为自变量，x为因变量建立的回归方程。若绘出图形，则是两条斜率不同的回归直线。3)直线回归方程中，回归系数b可以是正值，也可以是负值。若0b>，表示直线上升，说明两个变量同方向变动；若0b<，表示直线下降，说明两个变量是反方向变动。2.建立一元线性回归方程的条件任何一种数学模型的运用都是有前提条件的，配合一元线性回归方程应具备以下两个条件：1)两个变量之间必须存在高度相关的关系。两个变量之间只有存在着高度相关的关系，回归方程才有实际意义。2)两个变量之间确实呈现直线相关关系。两个变量之间只有存在直线相关关系，才能配合直线回归方程。3.建立一元线性回归方程的方法一元线性回归方程是用于分析两个变量（一个因变量和一个自变量）线性关系的数学表达式，一般形式为：yc=a+bx式中：x代表自变量；yc代表因变量y的估计值(又称理论值)；

　　ab为回归方程参数。其中，a是直线在y轴上的截距，它表示当自变量x等于0时，因变量所达到的数值；b是直线的斜率,在回归方程中亦称为回归系数,它表示当自变量x每变动一个单位时，因变量y平均变动的数值。一元线性回归方程应根据最小二乘法原理建立，因为只有用最小二乘法原理建立的回归方程才可以同时满足两个条件：1)因变量的实际值与回归估计值的离差之和为零；2)因变量的实际值与回归估计值的离差平方和为最小值。只有满足这两个条件，建立的直线方程的误差才能最小，其代表性才能最强。现在令要建立的一元线性回归方程的标准形式为yc=a+bx,依据最小二乘法原理，因变量实际值y与估计值yc的离差平方和为最小值,即Q=∑(y-yc)2取得最小值。为使Q=∑(y-yc)2=最小值根据微积分中求极值的原理，需分别对a,b求偏导数，并令其为0，经过整理，可得到如下方程组：∑y=an+b∑x∑xy=a∑x+b∑x2解此方程组，可求得a,b两个参数

　　4.计算估计标准误差回归方程只反映变量x和y之间大致的、平均的变化关系。因此，对每一个给定的x值，回归方程的估计值yc与因变量的实际观察值y之间总会有一定的离差，即估计标准误差。估计标准误差是因变量实际观察值y与估计值yc离差平方和的平均数的平方根，它反映因变量实际值y与回归直线上各相应理论值yc之间离散程度的统计分析指标。估计标准误差：

　　式中：sy——估计标准误差；y——因变量实际观察值；yc——因变量估计值；n-2——自由度如何描述两个变量之间线性相关关系的强弱？利用相关系数r来衡量

　　当r>0时，表示x与y为正相关;当r<0时，表示x与y为负相关。

　　5.残差分析与残差图：

　　残差是指观测值与预测值（拟合值）

　　之间的差，即是实际观察值与回归估计值的差

　　在研究两个变量间的关系时，a)要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关；b)判断是否可以用回归模型来拟合数据；c)可以通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作就称为残差分析。6.残差图的制作及作用。坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；若模型选择的正确，残差图中的点应该分布

　　在以横轴为心的带状区域，带状区域的宽度越窄精度越高。对于远离横轴的点，要特别注意。

　　7.几点注解：第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就应该予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。还可以用判定系数r2来刻画回归的效果，该指标测度了回归直线对观测数据的拟合程度，其计算公式是：

篇二：应用回归分析心得体会

　　现在令要建立的一元线性回归方程的标准形式为ycabx依据最小二乘法原理因变量实际值与估计值yc的离差平方和为最小值即q无yy最小值根据微积分中求极值的原理需分别对ab导数并令其为0经过整理可得到如下方程解此方程组可求得ab两个参数计算估计标准误差回归方程只反映变量x之间大致的平均的变化关系

　　回归分析方法总结全面

　　一、什么是回归分析

　　回归分析(RegressionAnalysis)是研究变量之间作用关系的一种统计分析方法，其基本组成是一个（或一组）自变量与一个（或一组）因变量。回归分析研究的目的是通过收集到的样本数据用一定的统计方法探讨自变量对因变量的影响关系，即原因对结果的影响程度。

　　回归分析是指对具有高度相关关系的现象，根据其相关的形态，建立一个适当的数学模型(函数式)，来近似地反映变量之间关系的统计分析方法。利用这种方法建立的数学模型称为回归方程，它实际上是相关现象之间不确定、不规则的数量关系的一般化。

　　二、回归分析的种类

　　1.按涉及自变量的多少，可分为一元回归分析和多元回归分析一元回归分析是对一个因变量和一个自变量建立回归方程。多元回归分析是对一个因变量和两个或两个以上的自变量建立回归方程。

　　2.按回归方程的表现形式不同，可分为线性回归分析和非线性回归分析

　　若变量之间是线性相关关系，可通过建立直线方程来反映，这种分析叫线性回归分析。

　　若变量之间是非线性相关关系，可通过建立非线性回归方程来反映，这种分析叫非线性回归分析。

　　回归分析方法总结全面

　　三、回归分析的主要内容

　　1.建立相关关系的数学表达式。依据现象之间的相关形态，建立适当的数学模型，通过数学模型来反映现象之间的相关关系，从数量上近似地反映变量之间变动的一般规律。

　　2.依据回归方程进行回归预测。由于回归方程反映了变量之间的一般性关系，因此当自变量发生变化时，可依据回归方程估计出因变量可能发生相应变化的数值。因变量的回归估计值，虽然不是一个必然的对应值(他可能和系统真值存在比较大的差距)，但至少可以从一般性角度或平均意义角度反映因变量可能发生的数量变化。

　　3.计算估计标准误差。通过估计标准误差这一指标，可以分析回归估计值与实际值之间的差异程度以及估计值的准确性和代表性，还可利用估计标准误差对因变量估计值进行在一定把握程度条件下的区间估计。

　　四、一元线性回归分析

　　1.一元线性回归分析的特点

　　1)两个变量不是对等关系，必须明确自变量和因变量。

　　2)如果x和y两个变量无明显因果关系，则存在着两个回归方程：一个是以x为自变量，y为因变量建立的回归方程；另一个是以

　　回归分析方法总结全面

　　y为自变量，x为因变量建立的回归方程。若绘出图形，则是两条斜率不同的回归直线。

　　3)直线回归方程中，回归系数b可以是正值，也可以是负值。若0b>，表示直线上升，说明两个变量同方向变动；若0b<，表示直线下降，说明两个变量是反方向变动。

　　2.建立一元线性回归方程的条件任何一种数学模型的运用都是有前提条件的，配合一元线性回归方程应具备以下两个条件：1)两个变量之间必须存在高度相关的关系。两个变量之间只有存在着高度相关的关系，回归方程才有实际意义。2)两个变量之间确实呈现直线相关关系。两个变量之间只有存在直线相关关系，才能配合直线回归方程。3.建立一元线性回归方程的方法一元线性回归方程是用于分析两个变量（一个因变量和一个自变量）线性关系的数学表达式，一般形式为：yc=a+bx式中：x代表自变量；yc代表因变量y的估计值(又称理论值)；

　　回归分析方法总结全面

　　ab为回归方程参数。其中，a是直线在y轴上的截距，它表示当自变量x等于0时，因变量所达到的数值；b是直线的斜率,在回归方程中亦称为回归系数,它表示当自变量x每变动一个单位时，因变量y平均变动的数值。

　　一元线性回归方程应根据最小二乘法原理建立，因为只有用最小二乘法原理建立的回归方程才可以同时满足两个条件：

　　1)因变量的实际值与回归估计值的离差之和为零；2)因变量的实际值与回归估计值的离差平方和为最小值。只有满足这两个条件，建立的直线方程的误差才能最小，其代表性才能最强。现在令要建立的一元线性回归方程的标准形式为yc=a+bx,依据最小二乘法原理，因变量实际值y与估计值yc的离差平方和为最小值,即Q=∑(y-yc)2取得最小值。为使Q=∑(y-yc)2=最小值根据微积分中求极值的原理，需分别对a,b求偏导数，并令其为0，经过整理，可得到如下方程组：∑y=an+b∑x∑xy=a∑x+b∑x2解此方程组，可求得a,b两个参数

　　回归分析方法总结全面

　　式中：sy——估计标准误差；y——因变量实际观察值；yc——因变量估计值；n-2——自由度

　　如何描述两个变量之间线性相关关系的强弱？利用相关系数r来衡量

　　当r>0时，表示x与y为正相关;当r<0时，表示x与y为负相关。

　　回归分析方法总结全面

　　5.残差分析与残差图：

　　残差是指观测值与预

　　测值（拟合值）之间的差，即是实际观察值与回归估计值的差

　　7.几点注解：

　　回归分析方法总结全面

　　第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就应该予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。

　　另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。还可以用判定系数r2来刻画回归的效果，该指标测度了回归直线对观测数据的拟合程度，其计算公式是：

　　回归分析方法总结全面

　　如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。

　　总的来说：相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。五、多元线性回归分析

　　在一元线性回归分析中，因变量y只受某一个因素的影响，即只由一个自变量x来估计。但对于复杂的自然界中的问题，影响因素往往很多，在这种情况下，因变量y要用多个自变量同时进行估计。例如，某种产品的总成本不仅受原材料价格的影响，而且也与产品产量、管理水平等因素有关；农作物产量的髙低受品种、气候、施肥量等多个因素的影响。描述因变量与两个或两个以上自变量之间的数量关系的回归分析方法称为多元线性回归分析。它是一元线性回归分析的推广，其分析过程相对复杂一些，但基本原理与一元线性回归分析类似。

　　多元线性回归方程的一般表达式为：

　　为便于分析，当自变量较多时可选用两个主要的自变量x1和x2。其线性回归方程标准式为：

　　回归分析方法总结全面

　　其中：yc为二元回归估计值；a为常数项；b1和b2分别为y对x1和x2的回归系数，b1表示当自变量x2为一定时，由于自变量x1变化一个单位而使y平均变动的数值，b2表示当自变量x1为一定时，由于自变量x2变化一个单位而使y平均变动的数值，因此，b1和b2称为偏回归系数。

　　要建立二元回归方程，关键问题是求出参数a，b1和b2的值，求解方法仍用最小二乘法，即分别对a，b1和b2求偏导数，并令函数的一阶导数等于零，可得如下方程组：

　　(二)在回归分析中，通常称自变量为回归因子，一般用表示，而称因变量为指标，一般用表示。预测公式：，称之为回归方程。回归模型，按照各种原则可以分为各种模型：1.当n=1时，称为一元(单因子)回归；当n≥2时，称为多元(多因子)回归。2.当f为线性函数时，称为线性回归；当f为非线性函数时，称为非线性(曲线)回归。最小二乘准则：

　　回归分析方法总结全面

　　假设待定的拟合函数为，另据m个数据点，相当于求解以下规划问题：

　　即使得总离差平方和最小。具体在线性拟合的过程中，假设拟合函数为y=a+bx，a与b为待定系数，已知有m个数据点，分别为，应用最小二乘法，就是要使：

　　达到最小值。把S看成自变量为a和b的连续函数，则根据连续函数达到及致电的必要条件，于是得到：

　　因此，当S取得最小值时，有：

　　可得方程组为：

　　回归分析方法总结全面

　　称这个方程组为正规方程组，解这个二元一次方程组，得到：

　　如果把已有数据描绘成散点图，而且从散点图中可以看出，各个数据点大致分布在一条直线附近，不妨设他们满足线性方程：其中，x为自变量，y为因变量，a与b为待定系数；ε成为误差项或者扰动项。

　　这里要对数据点做线性回归分析，从而a和b就是待定的回归系数，ε为随机误差。

　　不妨设得到的线性拟合曲线为：这就是要分析的线性回归方程。一般情况下，得到这个方程以后，主要是描绘出回归曲线，并且观测拟合效果和计算一些误差分析指标，例如最大点误差、总方差和标准差等。

　　回归分析方法总结全面

　　这里最缺乏的就是一个统一的评价系统，以下说明从概率角度确立的关于线性回归的一套评价系统。

　　在实际的线性回归分析中，除了估计出线性回归系数a和b，还要计算y和x的相关程度，即相关性检验。相关性检验主要通过计算相关系数来分析，相关系数的计算公式为：

　　其中n为数据点的个数，为原始数据点，r的值能够很好地反映出线性相关程度的高低，一般来说，存在以下一些标准：

　　1.当r→1或者r→−1时，表示y与x高度线性相关，于是由原始数据描绘出的散点图中所有数据点都分布在一条直线的附近，分别称为正相关和负相关；

　　2.当r→0时，表示y与x不相关，由原始数据描绘出的散点图的数据点一般呈无规律的特点四散分布；

　　3.当−1<r<0或者0<r<1时，y与x的相关程度介于1与2之间；

　　4.如果r→1，则y与x线性相关程度越高；反之，如果r→0，则y与x线性相关程度越低。

　　实际计算r值的过程中，长列表计算，即：

　　回归分析方法总结全面

　　在实际问题中，一般要保证回归方程有最低程度的线性相关。因为许多实际问题中，两个变量之间并非线性的相关关系，或者说线性相关程度不高，此时硬给他建立线性回归方程，显然没有太大意义，也没有什么实用价值。

　　一般来说，把这个最低限度的值记为临界值，称之为相关性检验标准。因此，如果计算出r的值，并且满足，则符合相关性要求，线性回归方程作用显著。反之，如果

　　，则线性回归方程作用不显著，就尽量不要采用线性回归方程。临界值的数值表如下：

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　　其中，自由度可以由原始数据点的个数减去相应的回归方程的变量个数，例如线性回归方程中有两个变量，而数据点的个数为n个，则自由度为n−2.自由度一般记为f，但不要与一般的函数发生混淆。显著性水平一般取为0.01,0.02,0.05等，利用它可以计算y与x之间相关关系的可信程度或者称为置信水平，计算公式为：

　　(这里取显著性水平为α=0.05)

　　现在介绍置信区间的问题，由于实际误差的存在，由线性拟合得到的计算值跟实际值之间必然存在一定的差距，其差值就是计算误差。假设原始数据点为，计算得到的数据点为，再给定附近的一个区间：则实际值yi可能落在这个区间内，也可能落在这个区间外。如果所有的这些区间

　　(以为中心，长度为)包含实际值的个数占总数的比例达到95%或者以上，则称这些区间的置信水平不少于95%

　　根据以上的分析，可以知道置信区间的概念，如果确定了置信水平为95%，从而可以找到相应的最小的Δt值，使得95%以上的实际值落在区间内，则称为预测值满足置信水平95%的置信区间。一般情况下，如果不做特别说明，置信区间的相应置信水平默认为95%，置信区间反映了回归方程的适用范围和精确度，特别的，当所有离散数据分布在回归曲线的附件，大致呈现为正态分布时，置信区间为：其中S为该回归模型的标准差，计算公式为：

　　回归分析方法总结全面

　　或者为：

　　那么，如果回归方程为y=a+bx，则有两条控制直线分别为和，他们代表了置信区间的上限和下限，如下图所示：

　　那么，可以预料实际的数据点几乎全部(至少95%)落在上图两条虚线所夹的区域内。

　　这里对回归方程的应用做一个总结：1.估计、预测指标值。对于因子x的一个给定值x0，代入回归预测方程即可求出相应的指标值，称为指标y0的点估计，相应预测误差为但是，真实指标y0的值一般无法确知，预测精度只能根据回归误差来做估计。在回归预测中，预测的精度可以用均方差和标准差的比值来估计；

　　回归分析方法总结全面

　　2.估计指标值范围。估计指标值的范围，就是求给定x0，相应于某个给定的置信水平的置信区间。具体的求法，要应用到t分布；

　　3.控制因子取值。在某些实际问题中，特别当因子值可以人为的控制、调解时，也可以根据所要达到的指标值，反过来推出因子的取值，这就是因子值的控制。

篇三：应用回归分析心得体会

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　　U4违背基本假设的情况

　　一、异方差产生的原因在建立实际问题的回归分析模型时，经常会出现某一因素或一些因素随着解释变

　　量观测值的变化而对被解释变量产生不同的影响，导致随机误差项产生不同的方差。即：var(i)var(j)，当ij时。样本数据为截面数据时容易出现异方差性。二、异方差性带来的问题1、参数估计值虽然是无偏的，但不是最小方差线性无偏估计。2、参数的显著性检验失效。3、回归方程的应用效果极不理想。三、异方差性的检验1、残差图分析法

　　残差图分析法是一种只管、方便的分析方法。它以残差ei为纵坐标，以其他适宜的变量为横坐标画散点图。常用的横坐标有三种选择：（1）以拟合值yˆ为横坐标；（2）以xi(i1,2,,p)为横坐标；（3）以观测时间或序号为横坐标。

　　(a)线性关系成立;(b)x加入二次方项;(c)存在异方差，需要改变x形式(d)残差与时间t有关。可能遗漏变量或者存在序列相关，需要引入变量。2、等级相关系数法

　　等级相关系数又称斯皮尔曼(Spearman)检验，是一种应用较广泛的方法。这种检验方法既可用于大样本，也可以用于小样本。进行等级相关系数检验通常有三个步骤：

　　第一步，做y关于x的普通最小二乘回归，求出i的估计值，即ei的值

　　第二步，取ei的绝对值，即|ei|，把xi和|ei|按递增或递减的次序排列后分成等级，

　　按下式计算出等级相关系数：rs

　　6n(n21)

　　ni1

　　，其中，n

　　为样本容量，di

　　为对应

　　于xi和|ei|的等级的差数。第三步，做等级相关系数的显著性检验。在n>8的情况下，用下式对样本等级相关系

　　数rs进行t检验，检验统计量为：t

　　2rsrs2

　　，如果t

　　2(n2)可以认为异方差性

　　问题不存在，如果tt2(n2)，说明xi与|ei|之间存在系统关系，异方差性问题存

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　　在。（在这个检验中，原假设为：不存在异方差性）

　　等级相关系数可以如实反映单调递增或单调递减趋势的变量间的相关性，而简单

　　相关系数值适宜衡量直线趋势变量间的向关系。四、一元加权最小二乘估计

　　当研究的问题存在异方差性时，就不能用普通最小二乘法进行参数估计了。消除异方差性的方法通常有加权最小二乘法、Box-Cox变换法、方差稳定变换法。对于一元线性回归方程来说，普通最小二乘法的离差平方和为：

　　Q(0,1)(yiE(yi))2(yi01xi)2，其中每个观测值的权数相同。在等

　　方差的条件下，平方和的每一项的地位是相同的。然而，在异方差的条件下，平方和

　　中的每一项的地位是不同的，误差项方差

　　大的项，在平方和式子中的作用就偏大，

　　因而普通最小二乘估计的回归线就被拉向方差大的项，而方差小的项的拟合程度就

　　差。加权最小二乘估计的方法是在平方和中加入一个适当的权数wi，以调整各项在

　　平方和中的作用。一元线性回归的加权最小二乘的离差平方和为：

　　Q(0,1)wi(yiE(yi))2wi(yi01xi)2，其中wi为给定的权数。使用加

　　权最小二乘法时，为了消除异方差性的影响，为了使各项的地位相同，观测值的权数

　　应该是观测值误差项方差的倒数，即wi

　　。误差项方差较大的观测值接受较小的

　　权数，误差项方差较小的观测值接受较大的权数。在社会、经济研究中，经常会遇到

　　这种特色的权数，即误差项方差与x的幂函数xm成比例，其中，m为待定的未知参数。

　　此时权函数为：wi

　　1xim

　　。

　　加权最小二乘估计照顾小残差项是以牺牲大残差项为代价的，当回归模型存在异方差时，加权最小二乘估计只是对普通最小二乘法估计的改进，这种改进有可能是细微的，不能理解为加权最小二乘估计一定会得到与普通最小二乘估计截然不同的回归方程，或者一定有大幅度的改进。另外，加权最小二乘以牺牲大方差项的拟合效果为代价改善了小方差项的拟合效果，这也并不总是研究者所需要的。在社会经济现象中，通常变量取值大时方差也大，在以经济总量为研究目标时，更关心的是变量取值大的项，而普通最小二乘恰好能满足这个要求。所以在这样的一些特定场合下，即使数据存在异方差，也仍然可以选择使用普通最小二乘估计。五、多元加权最小二乘估计

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　　多元线性回归有多个自变量，通常取权数W为某个自变量xj（j1,2,,p）的

　　幂函数，即W

　　，在

　　x1,

　　x2,,

　　这p个自变量中，应该选取哪一个自变量，这只需

　　计算每个自变量xj与普通残差的等级相关系数，选取等级相关系数最大的自变量构造

　　权函数。六、自相关性

　　如果一个回归模型不满足cov(i,j)0，则称为随机误差项之间存在自相关现

　　象。这里的自相关现象不是指两个或者两个以上的变量之间的相关关系，而指的是一个变量前后期数值之间存在的相关关系。七、自相关产生的背景和原因产生序列自相关的背景及原因通常有以下几个方面。1、遗漏关键变量时会产生序列的自相关性。2、经济变量的滞后性会给序列带来自相关性。3、采用错误的回归函数形式也可能引起自相关性。例如，假定某实际问题的正确回归函数应由指数形式y0exp(1x)来表示，但无用了线性回归模型

　　y01x表示，这时，误差项也会表现为自相关性。

　　4、蛛网现象可能带来序列的自相关性。（经济学中的蛛网模型）5、因对数据加工整理而导致误差项之间产生自相关性。八、自相关性带来的问题当一个线性回归模型的随机误差项存在序列相关时，就违背了线性回归方程的基本假设，仍直接用普通最小二乘法估计未知参数，序列相关性会带来下列问题：1、参数估计值不再具有最小方差线性无偏性2、均方误差MSE可能严重低估误差项的方差。3、容易导致对t值评价过高，常用的F检验和t检验失效。4、当存在序列相关性时，ˆ仍然是的无偏估计量，但在任一特定的样本中，ˆ可

　　能严重歪曲的真实情况，即最小二乘估计量对抽样波动变得非常敏感。

　　5、如果不加处理地运用普通最小二乘法估计模型参数，用此模型进行预测和进行结构分析将会带来较大的方差甚至错误的解释。九、自相关性的诊断1、图示法图示法是一种直观的诊断方法，它是把给定的回归模型直接用普通最小二乘法估计参数，求出残差项et，et作为随机项t的真实值的估计值，在描绘et的散点图，根据et

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　　的相关性来判断随机项t的序列相关性。（1）绘制et，et1的散点图。

　　图a表明随机扰动项存在正的序列相关，图b表明随机扰动项存在负相关。（2）按照时间顺序绘制回归残差项et的图形，如果et随着t的变化逐次有规律地变化，呈现锯齿形或循环形状的变化，可断言et存在相关，表明t存在着序列相关。如果et随着t的变化逐次变化并不断地改变符号，如下图d所示，那么随机扰动项t存在负的序列相关，这种现象称为蛛网现象；如果et随着t的变化逐次变化并不频繁地改变符号，而是几个正的et后面跟着几个负的，则表明随着扰动项t存在正的序列相关，如下图c所示。

　　2、自相关函数法

　　自相关函数的估计值为ˆ

　　etet1

　　，ˆ作为自相关系数的估计值与样本量

　　et2

　　e2t1

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　　有关，需要做统计显著性检验才能确定自相关性的存在，通常采用DW检验代替对ˆ的

　　检验。3、DW检验DW检验是适用于小样本的一种检验方法，而且DW检验只能用于检验随机扰动项具有一阶自回归形式的序列相关问题。DW2(1-ˆ),计算出DW值后，根据样本容量n和解释

　　变量的数目k（包括常数项）查DW分布表，得出临界值dL和dU。

　　0D.WdL,

　　误差项1,2,,n间存在正相关;

　　dLD.WdU,

　　不能判定是否有自相关;

　　dUD.W4-dU,

　　误差项1,2,,n间无自相关;

　　4-dUD.W4-dL,

　　不能判定是否有自相关;

　　4-dLD.W4,

　　误差项1,2,,n间存在负相关。

　　需要注意的是，DW检验尽管有着广泛的应用，但也有明显的缺点和局限性：（1）DW检验有两个不能确定的区域，一旦DW值落在这两个区域，就无法判断。这时只有增大样本容量或选取其他方法；（2）DW统计量的上、下界表要求n>15，这是因为样本如果再小，利用残差就很难对自相关的存在性做出比较正确的诊断；（3）DW检验不适应随机项具有高阶序列相关的检验（只能判断一阶）。十、自相关问题的处理方法1、迭代法设一元线性回归模型的误差项存在一阶自相关yt01xtt--------------------------------------（1）

　　tt1t------------------------------------------（2）

　　(t)

　　)0,t1,2,,n

　　(t,

　　1,2,,

　　0,ts

　　（2）式表明误差项存在一阶自相关，（1）式表明t满足关于随机扰动项的基本假设。

　　所以回归模型（1）有：yt101xt1t1--------（3）

　　将（3）式两端乘以，在用（1）式减去乘以的（3）式，则有

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　　(ytyt1)(00)1(xtxt1)(tt1)-------------（4）

　　在（4）式中，令ytytyt1，xtxtxt1，00(1)，11

　　于是（4）可以变为yt01xtt------------------------（5）模型（5）式有独立随机误差项，满足线性回归模型的基本假设，用普通最小二乘法估计的参数估计量具有通常的优良性。由于自相关系数是未知的，需要对作估计。

　　,计算出

　　的估计值后，带入计算变换因变量

　　yt和变换自变量xt

　　，然后

　　用（5）式做普通最小二乘回归。一阶自相关模型，通过上述变换，已经消除自相关，

　　迭代法到此结束。如果检验表明误差项t不存在自相关，迭代法结束，如果检验表明

　　误差项t存在自相关，那么对回归模型（5）式重复用迭代法，这个过程可能要重复

　　几次，直至最终消除误差项自相关。2、差分法差分法就是用增量数据代替原来的样本数据，将原来的回归模型变为差分形式的模型。一阶差分法通常适用于原模型存在较高程度的一阶自相关情况。(ytyt1)(00)1(xtxt1)(tt1)用增量表示为：yt1xtt

　　以差分数据yt和xt为样本的回归方程。差分之后的模型，通常不带有常数项，它是

　　回归直线过原点的回归方程。一阶差分的应用条件是自相关系数=1，在实际应用中，

　　接近1时，就可以采用差分法而不用迭代法。有两个原因：第一，迭代法需要用样

　　本估计自相关系数，对的估计误差会影响迭代法的使用效率；第二，差分法比迭

　　代法简单，在建立时序数据的回归方程时，更习惯于用差分法。十一、异常值与强影响点异常值分为两种情况，一种是关于因变量y异常，另一种是关于自变量x异常。1、关于因变量y的异常值

　　在残差分析中，认为超过3ˆ

　　的残差为异常值。标准化残差：ZREi

　　eiˆ

　　，学生

　　化残差：SREiˆ

　　ei1hii

　　。标准化残差使残差具有可比性，|ZREi|>3的相应观测值

　　即判定为异常值，这简化了判断工作，但是没有解决方差不等的问题。学生化残差则进一步解决了方差不等的问题，比标准化残差又有所改进。但是当观测数据中存在关

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　　于y的异常观测值时，普通残差、标准化残差、学生化残差这三种残差都不再适用，这是由于异常值把回归线拉向自身，使异常值本身的残差减少，而其余观测值的残差增大，这时回归标准差ˆ也会增大，因而用3ˆ准则不能正确分辨出异常值。解决这个问题的方法是改用删除误差。

　　删除误差的构造思想是：在计算第i个观测值的残差时，用删除掉这个第i个观测值的其余n-1个观测值拟合回归方程，计算出第i个观测值的删除拟合值yˆ(i)，这个删

　　除拟合值与第i个值无关，不受第i个值是否为异常值的影响，定义第i个观测值的删除残差为：e(i)yiyˆ(i)，删除残差e(i)较普通残差更能如实反映第i个观测值的异常

　　性。可以证明，e(i)

　　ei1hii

　　，进一步可以给出第i个观测值的删除学生化残差，记为

　　SRE(i)

　　(

　　p21SREi2

　　)

　　，在实际应用当中，可以直接使用软件计算出删除

　　学生化残差SRE(i)的数值，|SRE(i)|>3的观测值即判定为异常值。

　　2、关于自变量x的异常值有D(ei)(1hii)2，其中杠杆值hii表示自变量的第i次观测值与自变量平均值之

　　间的远近。较大的杠杆值的残差偏小，这是因为大杠杆值的观测点远离样本中心，能

　　够把回归方程拉向自身，因而把杠杆值大的样本点称为强影响点。

　　强影响点并不一定是y值的异常值点，因而强影响点并不总会对回归方程造成不良

　　影响。但是强影响点对回归效果通常有较强的影响，这是由于一下两个原因：第一，

　　在实际问题中，因变量与自变量的线性关系只是在一定的范围内成立，强影响点原来

　　样本中心，因变量与自变量之间可能已不再是线性函数关系，因而在选择回归函数的

　　形式时，需侧重于强影响点；第二，即使线性回归形式成立，但是强影响点远离样本

　　中心，能够把回归方程拉向自身，使回归方程产生偏移。

　　由于强影响点并不总是y的异常值点，所以不能单纯根据杠杆值的大小判断强影响

　　点是否异常，为此，引入库克距离，用来判断强影响点是否为y的异常值点。库克距

　　离的计算公式为：D(i)

　　ei2(p1)ˆ2

　　•

　　hii(1hii)2

　　，库克距离反映了杠杆值hii与残差ei大

　　小的一个综合效应。杠杆值hii的平均值为h

　　hii

　　p1，一个杠杆值大于2倍或n

　　者3倍的h

　　就认为是大的。中心化的杠杆值chii

　　hii

　　，因此有中心化杠杆值chii的

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　　平均值是ch

　　ni1

　　chii

　　，对于库克聚类大小标准的初略判断是：Di

　　0.5时，认为

　　不是异常值点；当Di1时，认为是异常值点。

　　诊断出异常值后，进一步判断引起异常值的原因，通常由以下几种。

　　异常值原因

　　异常值消除方法

　　1.数据登记误差,存在抄写或录入的错误重新核实数据

　　2.数据测量误差

　　重新测量数据

　　3.数据随机误差

　　删除或重新观测异常值数据

　　4.缺少重要自变量

　　增加必要的自变量

　　5.缺少观测数据

　　增加观测数据,适当扩大自变量取值范围

　　6.存在异方差

　　采用加权线性回归

　　7.模型选用错误，线性模型不适用

　　改用非线性回归模型

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　　U5自变量选择与逐步回归

　　一、全模型和选模型

　　设研究某一实际问题，涉及对因变量有影响的因素共有m个，由因变量y和m个

　　自变量构成的回归模型y01x12x2mxm称为全模型。如果从可供选择的m个变量中选出p个，由选出的p个自变量组成的回归模型

　　y0p1px12px2ppxppp称为选模型。二、自变量选择对预测的影响

　　自变量选择对预测的影响可以分为两种情况考虑，第一种情况是全模型正确而误

　　用了选模型；第二种情况是选模型正确而无用了全模型。以下是这两种情况对回归的

　　影响。

　　1、全模型正确而误用选模型的情况

　　性质1，在xj与xp1,,xm的相关系数不全为0时，选模型回归系数的最小二乘估计

　　是全模型相应参数的有偏估计，即E(ˆjp)jpj（j1,2,,p）

　　性质2，选模型的预测是有偏的。

　　性质3，选模型的参数估计有较小的方差。

　　性质4，选模型的预测残差有较小的方差。

　　性质5，选模型的均方误差比全模型预测的方差更小。（用选模型去预测，可以提高

　　预测的精度）

　　三、所有子集回归

　　1、关于自变量选择的几个准则

　　准则一：自由度调整复决定系数达到最大。

　　设Ra2

　　n1(1np1

　　R2)为自由度调整后的复决定系数，其中，n

　　为样本容量，

　　p为自变量的个数。所有回归子集中Ra2最大者对应的回归方程就是最优方程。

　　从另外一个角度考虑回归的拟合效果，回归误差项2的无偏估计为：

　　ˆ21SSE。用平均残差平方和ˆ2和调整的复决定系数作为自变量选元准则实

　　np1际上是等价的。因为有Ra2

　　n1SST

　　。

　　小说明模型好，而

　　小

　　Ra2

　　就会大也说明

　　模型好。

　　准则二：赤池信息量AIC达到最小。

　　设模型的似然函数为L(,x)，的维数为p,x为随即样本，则AIC定义为：AIC=-2lnL(ˆL,x)+2p,其中ˆL为的极大似然估计；p为未知参数的个数，选择使AIC达到最小的模型是最优模型。在回归分析的建模过程中，对每一个回归子集计算AIC，

　　其中AIC最小者所对应的模型是最优回归模型。

　　准则三：Cp统计量达到最小

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　　来计的。即。选使C择p全使=模(nC型p最m正小确1的)，SS自仍SSEE变有mp量可n子能选集2p模，，型这其有个中更自ˆ小变2的量n预子测集m1误对1差应S，S的EC回mp为归正全方是模程根型就据中是这最一2优原的回理无归提偏方出估程。四、前进法

　　前进法的思想是变量由少到多，每次增加一个，直至没有可引入的变量为止。在R中使用前进法做变量选择时，通常将初始模型设定为不包含任何变量，只含有常数项的回归模型，此时回归模型的AIC统计量的值，不妨为Co。然后，将全部m个自变量分别对因变量y建立m个一元线性回归方程，并分别计算这m个一元回归方程的AIC统计量的值，选其中最小值记为:Cj1。因此，变量xj将首先被引人回归模型，为了方便进一步地说明前进法，不妨将xj记作x1，此时回归方程对应的AIC值记为C1。接下来，因变量y分别对(x1,x2)，(x1,x3)…(x1,xm)建立m-1个二元线性回归方程，对这m-1个回归方程分别计算其AIC统计量的值，选其中最小值记为Cj2则接着将变量xj引人回归模型，此时模型中包含的变量为X1和Xj.依上述方法接着做下去，直至再次引人新变量时，所建立的新回归方程的AIC值不会更小，此时得到的回归方程即为最终确定的方程。五、后退法后退法与前进法相反，通常先用全部m个变量建立一个回归方程，然后计算在剔除任意一个变量后回归方程所对应的AIC统计量的值，选出最小的AIC值所对应的需要剔除的变量，不妨记作X1;然后，建立剔除变量x1后因变量y对剩余m-I个变量的回归方程，计算在该回归方程中再任意剔除一个变量后所得回归方程的AIC值，选出最小的AIC值并确定应该剔除的变量;依此类推，直至回归方程中剩余的p个变量中再任意剔除一个AIC值都会增加，此时已经没有可以继续剔除的自变量，因此包含这p个变量的回归方程就是最终确定的方程。六、前进法和后退法的比较前进法的优点是能够将对因变量有影响的自变量按显著性一一选入，计算量小。前进法的缺点是不能反映引进新变量后的变化，而且选入的变量就算不显著也不能删除。后退法的优点是是能够将对因变量没有显著影响的自变量按不显著性一一剔除，保留的自变量都是显著的。后退法的缺点是开始计算量大，当减少一个自变量时，它再也没机会进入了。如果碰到自变量间有相关关系时，前进法和后退法所作的回归方程均会出现不同程度的问题。七、逐步回归法逐步回归的基本思想是有进有出。step()函数的具体做法是在给定了包含p个变

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　　量的初始模型后，计算初始模型的AIC值，并在此模型基础上分别剔除p个变量和添加剩余m-p个变量中的任一变量后的AIC值，然后选择最小的AIC值决定是否添加新变量或剔除已存在初始模型中的变量。如此反复进行，直至既不添加新变量也不剔除模型中已有的变量时所对应的AIC值最小，即可停止计算，并返回最终结果。八、选择回归子集

　　选择哪一个回归子集，用哪一个衡量准则要根据研究问题的目的来决定，回归模型常用的三个方面是：结构分析，预测，控制。如果想通过回归模型去研究经济变量之间的相关联系，即做结构分析，则在选元时可以考虑适当放宽选元标准，给回归方程中保留较多的自变量，但这时需要注意回归系数的正负号，看它们是否符合经济意义。如果希望回归方程简单明了，易于理解，则应该采用较严的选元标准。比如在逐步回归选元中，给显著性水平进赋一个较小的值，就可使得回归方程中保留较少最重要最能说明问题的自变量。如果建立回归方程的目的是为了用于控制，那么就应采取能使回归参数的估计标准误差尽可能小的准则。如果建立回归方程的目的是用于预测，就应该考虑使得预测的均方误差尽量小的准则，如Cp准则。

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　　U6多重共线性的情形及其处理

　　一、多重共线性对回归模型的影响设回归模型y01x12x2pxp存在完全的多重共线性，即对设计矩

　　阵X的列向量存在不全为零的一组数c0,c1,c2,,cp，使得：c0c1xi1c2xi2cpxip0（i1,2,,n）.产生原因：采用时间序列数据样本；采用横截面数据影响：1、完全共线性下参数估计量不存在；2、近似共线性下OLS估计量非有效；

　　3、参数估计量经济含义不合理；4、变量的显著性检验失去意义；5、模型的预测功能失效。二、多重共线性的诊断1、方差扩大因子法

　　对自变量作中心标准化，则XX(rij)为自变量的相关阵，记C(cij)(XX)1称其主对角线元素VIFjcjj为自变量xj的方差扩大因子。

　　var(ˆj)Cjj2Ljj（j1,2,,p），其中Ljj为xj的离差平方和。记RJ2为自变量xj对

　　其余

　　p-1

　　个自变量的复决定系数，则有cjj

　　，该式子同样也可以作为方差扩大

　　因子VIFj的定义。

　　由于RJ2度量了自变量xj与其余p-1个自变量的线性相关程度，这种相关程度越强，说明自变量之间的多重共线性越严重，RJ2也就越接近于1，VIFj也就越大。由此可见VIFj的大小反映了自变量之间是否存在多重共线性，因此可以由它来度量多重共线性的严重程度。经验表明，当VIFj10时，就说明自变量xj与其余自变量之间有严重的多重共线性，且这种多重共线性可能会过度地影响最小二乘估计值。

　　也可以用p个自变量所对应的方差扩大因子的平均数来度量多重共线性，当

　　VIF

　　VIFj

　　远远大于

　　1时就表示存在严重的多重共线性问题。

　　2、特征根判定法

　　特征根分析：当矩阵XX有一个特征根近似为零时，设计矩阵X的列向量间必存在

　　多重共线性，并且XX有多少个特征根接近于零，X就有多少个多重共线性关系。

　　条件数：（kX'X）max，为矩阵XX的条件数。通常认为k<100时，设计矩阵Xmin

　　没有多重共线性；100<k<1000时，认为X存在较强的多重共线性；当k1000时，则认

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　　为存在严重的多重共线性。

　　3、直观判定法（1）当增加或剔除一个自变量,或者改变一个观测值时,回归系数的估计值发生较大变化。（2）从定性分析认为,一些重要的自变量在回归方程中没有通过显著性检验。（3）有些自变量的回归系数所带正负号与定性分析结果违背。（4）自变量的相关矩阵中,自变量间的相关系数较大。（5）一些重要的自变量的回归系数的标准误差较大。三、消除共线性的方法1、删除一些不重要的解释变量

　　在选择回归模型时，可以将回归系数的显著性检验、方差扩大因子VIF的多重共线性检验与自变量的经济含义结合起来考虑，以引进或剔除变量。2、增大样本容量

　　例如，在建立二元回归模型时，假设数据都已经中心化，有

　　var(ˆ1)

　　2(1r122)L11

　　var(ˆ2

　　)

　　2(1r122)L22

　　。其中L11

　　xi21，L12

　　ni1

　　xi1xi2，

　　L22xi22则x1，x2之间的相关系数r12

　　L12,可以看到，在r12固定不变时，当L11L22

　　样本容量n增大时，L11和L22都会增大，两个方差均可减小，从而减弱了多重共线性对回归方程的影响。但是，增加了样本数据，可能新的数据距离原来样本数据的平均值较大，会产生一些新的问题，使模型拟合变差，没有达到增加样本数据期望的效果。

　　3、回归系数的有偏估计为了消除多重共线性对回归模型的影响，还可以采取有偏估计为代价来提高估计

　　量稳定性的方法，如岭回归，主成份回归法，偏最小二乘法等。

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　　U7岭回归分析

　　一、岭回归的定义岭回归法是以引入偏误为代价减小参数估计量的方差是一种回归方法。当自变量

　　间存在多重共线性,|XX|0时，设想给XX加上一个正常数矩阵kI(k>0)那么XX+kI接近奇异的程度就会比XX接近奇异的程度小得多。考虑到变量的量纲问题，先要对数据标准化，标准化后的设计矩阵仍用X表示，定义ˆ(k)(XXkI)1Xy称为的岭回归估计，其中，k称为岭参数。由于假设X已经标准化，所以XX就是自变量样本相关阵。y可以标准化也可以未标准化，如果y也经过标准化，那么计算的实际是标准化岭回归估计。ˆ(k)作为的估计应比最小二乘估计ˆ稳定，当k=0时的岭回归估计ˆ(0)就是普通的最小二乘估计。因为岭参数k不是唯一确定的，所以得到的岭回归估计ˆ(k)实际是回归参数的一个估计族。二、岭回归估计的性质性质1，ˆ(k)是回归参数的有偏估计。

　　证明：E[ˆ(k)]E((XXkI)1Xy)(XXkI)1XE(y)(XXkI)1XX显然只有

　　当k=0时，E[ˆ(0)]ˆ；当k0时，ˆ(k)是的有偏估计。

　　性质2，在认为岭参数k是与y无关的常数时，ˆ(k)=(XXkI)1Xy是最小二乘估计

　　ˆ的一个线性变换。也是yˆ的线性函数。

　　证明：ˆ(k)(XXkI)1Xy(XXkI)1XX(XX)1Xy(XXkI)1XXˆ性质3，对任意k>0，ˆ0，总有ˆ(k)ˆ。

　　这里•是向量的模，等于向量各分量的平方和的平方根。这个性质表明ˆ(k)看看成由ˆ进行某种向原点的压缩。从ˆ(k)的表达式可以看到，当k时，ˆ(k)0，即ˆ(k)化为零向量。性质4，以MSE表示估计向量的均方误差，则存在k>0，使得MSE[ˆ(k)]MSE(ˆ)。三、岭参数k的选择

　　岭参数选择的目的是要选择使MSE（ˆ(k)）达到最小的k，最优k值依赖于未知

　　参数和2。1、岭迹法

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　　岭迹法的直观考虑是，如果最小二乘估计看来有不合理之外，如估计值以及正负号不符合经济意义，希望能通过采用适当的岭估计ˆ(k)来加以一定程度的改善，岭参数k值的选择就是尤为重要。选择k值的一般原则是：（1）各回归系数的岭估计基本稳定；（2）用最小二乘估计时符号不合理的回归系数，其岭估计的符号变得合理。（3）回归系数没有不合乎经济意义的绝对值；（4）残差平方和增大不太多。2、方差扩大因子法

　　应用方差扩大因子法选择k的经验做法是：选择k使所有方差扩大因子cjj10，当cjj10时，所对应的k值的岭估计ˆ(k)就会相对稳定。3、由残差平方和来确定k值

　　岭估计ˆ(k)在减小均方误差的同时增大了残差平方和，我们希望岭回归的残差平方和SSE(k)的增加幅度控制在一定的限度以内，从而可以给定一个大于1的c值，要求SSE(k)cSSE,寻找使该式成立的最大的k值。四、用岭回归选择变量

　　岭回归选择变量的原则：1、在岭回归的计算中，假定设计矩阵X已经中心化和标准化了，这样可以直接比较标准化岭回归系数的大小。可以剔除掉标准化岭回归系数比较稳定且绝对值很小的自变量。2、当k值较小时，标准化岭回归系数的绝对值并不是很小，但是不稳定，随着k的增加迅速趋于零，像这样岭回归系数不稳定，震动趋于零的自变量可以予以剔除。3.去掉标准化岭回归系数很不稳定的自变量。如果有若干个岭回归系数不稳定，究竟去掉几个，去掉哪几个，这并无一般原则可循，这需根据去掉某个变量后重新进行岭回归分析的效果来确定。

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　　U9非线性回归

　　一、可化为线性回归的曲线回归可线性化的曲线回归模型称为本质线性回归模型，不可线性化的曲线回归模型称

　　为本质非线性回归模型。乘性误差项模型和加性误差项模型所得的结果有一定差异，其中乘性误差项模型

　　认为yt本身是异方差的，而lnyt是等方差的。加性误差项模型认为yt是等方差的。从统计性质看两者的差异，前者淡化了yt值大的项（近期数据）的作用，强化了yt值小的项（早期数据）的作用，对早起数据拟合得效果较好，而后者则对近期数据拟合得效果较好。

　　影响模型拟合效果的统计性质主要是异方差、自相关和共线性这三个方面。异方差可以同构选择乘性误差项模型和加性误差项模型解决，必要时还可以使用加权最小二乘。二、多项式回归

　　多项式回归模型是一种重要的曲线回归模型，这种模型通常容易转化为一般的多元线性回归来做处理。1、常见的多项式回归模型

　　回归模型yi01xi2xi2i称为一元二阶多项式模型。通常将回归模型中的系数表示成：yi01xi11xi2i,回归函数yi01xi11xi2是一条抛物线方程，通常称为二项式回归函数。回归系数1为线性效应系数，11为二次效应系数。

　　当自变量的幂次超过3时，回归系数的解释变得困难起来，回归函数也变得很不稳定，对回归模型的应用会收到影响。因而，幂次超过3的多项式回归模型不常使用。在实际应用当中，常遇到含两个或两个以上自变量的情况，称回归模型：yi01xi111xi212xi222xi2212xi1xi2i为二元二阶多项式回归模型。它的回归系数中分别含有两个自变量的线性项系数1和2，二次项系数11和22，并含有交叉乘积项系数12，交叉乘积项表示x1与x2的交互作用，系数12通常称为交互影响系数。三、非线性模型

　　在非线性回归中，平方和分解式SST=SSR+SSE不在成立，类似于线性回归中的复决定系数，定义非线性回归的相关指数：R^2=1-SSE/SST

　　用非线性最小二乘法求解非线性回归方程,非线性最小二乘是使残差平方和达到最小,这种平方损失函数的优点是数学性质好,在一定条件下具有统计学的一些优良性质,但其最大的缺点是缺乏稳健性。当数据存在异常值时,参数的估计效果变得很差。因而在一些场合,可以用一些更稳健的残差损失函数代替平方和损失函数，例如

　　绝对值损失函数。绝对值残差损失函数为:Q()yif(xi,)有时候用最小绝对

　　值法的最大残差比普通最小二乘法的最大残差更大，i1这是否与最小绝对值法的稳健性

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　　相矛盾？其实这正说明了最小绝对值法的稳健性。这是因为最小绝对值法受异常值的影响程度小，回归线向异常值靠拢的程度也小，因而异常值的残差反而大。四、非线性回归的一些问题

　　根据实际观测数据配以合适的曲线模型一般有两个重要的步骤。一是确定曲线类型。对一个自变量的情况，确定曲线类型一般是把样本观测值画成散点图，由散点图的形状来大体确定曲线类型。再就是根据专业知识来确定曲线类型，如商品的销售量与广告费之间的关系，一般用S形曲线来描述；在农业生产中，粮食的产量与种植密度之间的关系往往服从抛物线关系。对于由专业知识可以确定的曲线类型，就用相应的模型去试着拟合，如果拟合的效果可以，问题就解决了。二是参数估计问题。如果可将曲线模型转化为线性模型，就可用普通最小二乘法去估计未知参数，如果不能用某种变换把它转化成线性模型，则参数的估计就要用非线性最小二乘法进行。非线性最小二乘法比普通最小二乘法要复杂得多，一般都是用迭代方法。由于任一连续函数都可用分段多项式来逼近，所以在实际问题中，不论变量y与其他变量的关系如何，在相当宽的范围内总可以用多项式来拟合。例如在一元回归关系中，如果变量y与x的关系可以假定为p次多项式，就可以转化为多元线性回归模型来处理。利用多项式回归模型可能会把已有的数据拟合得十分漂亮，但是，如果对较大的x作外推预测，这种多项式回归函数就可能会得到很差的结果，预测值可能会朝着意想不到的方向转折，可能会与实际情况严重不符。所有类型的多项式回归函数，尤其是高阶多项式回归都具有外推风险。特别的，对于一元回归，只要用一元n-1次多项式就可以把n对数据完全拟合，多项式曲线通过所有n-1个点，残差平方和为零，但是这种的回归拟合却没有任何实际意义。因此，必须谨慎地使用高阶多项式回归模型，因为得到的回归函数只是数据的良好拟合，而并不能如实地表明x与y之间回归关系的基本特征，并会导致不规则的外推。所以在应用多项式回归时，阶数一般不要超过三阶。一般地说，当非线性回归模型选择正确，回归拟合效果好时，相关指数R2能够如实反映回归拟合效果；而当回归拟合效果差时，相关指数R2则不能够如实反映回归拟合效果，甚至可能取为负值。

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　　U10含定性变量的回归模型

　　一、自变量中含有定性变量的回归模型在回归分析中，对一些自变量是定性变量的情形先量化处理，引入只取0和1两

　　个值的虚拟自变量。一个定性变量有k类可能的取值时，只需要引入k-1个0-1型自变量。需要指出的是，虽然虚拟变量取某一数值，但这一数值没有任何数量大小的意义，它仅仅用来说明观察单位的性质或属性。二、自变量中含有定性变量的回归模型的应用1、分段回归

　　在实际问题中，会碰到某些变量在不同的影响因素范围内变化趋势截然不同。对于这种问题，有时用多种曲线拟合效果仍不能令人满意。如果做残差分析，会发现残差不是随机的，而具有一定的系统性。2、回归系数相等的检验三、因变量是定性变量的回归模型1、定性因变量的回归方程的意义

　　设y是只取0,1的定性变量,考虑简单线性回归模型yi01xii，在这种y只取0,1的情况下,因变量均值E(yi)01xi有着特殊的意义。由于yi是0-1型贝努力随机变量，则得如下概率分布P(yi1)i，根据离散型随机变量期望的定义，可得E(yi)i01xi，所以，作为由回归函数给定的因变量均值E(yi)01xi是由自变量水平为xi时yi的概率。对因变量均值的这种解释既适应于这里的简单线性回归函数，也适用于复杂的多元回归函数。当因变量是0，1时，因变量均值总是代表给定自变量时y=1的概率。2、定性因变量回归的特殊问题(1)离散非正态误差项

　　对一个取值为0和1的因变量，误差项iyi01xi只能取两个值:当yi1时,i101xi1i当yi0时,i01xii显然，误差项i是两点型离散分布，当然正态误差回归模型的假定就不适用了。(2)零均值异方差

　　当因变量是定性变量时，误差项i仍然保持零均值，这时出现的另一个问题是误差项i的方差不相等。0-1型随机变量i的方差为:D(i)D(yi)i(1i)(01xi)(101xi),可以看到i的方差依赖于xi，是异方差，不满足线性回归方程的基本假定，最小二乘估计的效果也就不会好。(3)回归方程的限制

　　当因变量为0,1虚拟变量时，回归方程代表概率分布，所以因变量均值受到如下限制：0E(yi)i1，对一般的回归方程本身并不具有这种限制，线性回归方程yi01xi将会超出这个限制范围。

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　　四、logistic回归模型

　　1、分组数据的logistic回归模型

　　针对0-1型因变量产生的问题，应该对回归模型做两个方面的改进。

　　第一，回归函数应该改用限制在[0，1]区间内的连续曲线，而不能再沿用直线回

　　归方程。限制在[0，1]区间内的连续曲线有很多，例如所有连续型随机变量的分布函

　　数都符合要求，常用的是Logistic函数与正态分布函数。Logistic函数的形式为：f(x)ex1

　　1ex1ex第二，因变量yi本身只取0,1两个离散值，不适于直接作为回归模型中的因变量。由于回归函数E(yi)i01xi表示在自变量为xi的条件下yi的平均值，而yi是0-1型随机变量，因而E(yi)i就是在自变量为xi的条件下yi等于1的比例。这提示我们可以用yi等于1的比例代替yi本身作为因变量。分组数据的logistic回归只适用于大样本的分组数据，对小样本的未分组数据

　　不适用。

　　分组数据的logistic回归首先要对频率作logistic变换，变换公式为下需pi的要修采ln正取(1公加pip式权i)计最，算小这样二个本乘变频估换率计要。求pi出pi来mn权imin函ii01,数50，w或i分1组，ni数当pi据(存1的在pmli)oi之gi外s0t或，ic也m回i可归以n存i通时在过，异两可方阶以差段用性最如，

　　小二乘法确定权函数。第一阶段是用普通最小二乘拟合回归模型。第二阶段是从第一

　　阶段的结果估计出组比例pˆi，用权数winipˆi(1pˆi)作加权最小二乘回归。2、未分组数据的logistic回归模型

　　设y是0-1型变量，x1,x2,…,xp是与y相关的确定性变量，n组观测数据为

　　(xi1,xi2,…,xip;yi)，i=1,2,…,n，yi与xi1,xi2,…,xip的关系为：

　　E(yi)=πi=f(β0+β1xi1+β2xi2+…+βpxip)其中函数f（x）是值域在[0，1]区间内

　　的单调增函数。对于Logistic回归.于是yi是均值为πi=f(β0+β1xi1+β2xi2+…+

　　βpxip)的0-1型分布，概率函数为：P(yi=1)=πiP(yi=0)=1-πi

　　可为以：把Lyin的P概(y率i)函数n合iy写i(1为：i)1P(yiyi

　　)

　　于是

　　y1,

　　…,

　　yn的似然函数

　　五、多类i别1logistiic1回归

　　Probit回归称为单位概率回归，与Logistic回归相似，也是拟合0-1型因变量

　　回归的方法，其回归函数是1(i)01xi1pxip

　　用样本比例代替概率，表示为样本回归模型1(pi)01xi1pxipi

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　　附课后习题解答（主要为简答题）

　　第2章一元线性回归分析

　　2.1一元线性回归有哪些基本假定?

　　1.因变量y与自变量x具有线性关系

　　2.解释变量X是确定性变量，Y是随机变量；

　　3.随机误差项ε具有零均值、同方差和不序列相关性：

　　E(εi)=0i=1,2,…,n

　　Var(εi)=2i=1,2,…,n

　　Cov(εi,εj)=0i≠ji,j=1,2,…,n

　　4.随机误差项ε与解释变量X之间不相关：

　　Cov(Xi,εi)=0

　　i=1,2,…,n

　　5.ε服从零均值、同方差、零协方差的正态分布

　　εi~N(0,2)

　　i=1,2,…,n

　　第3章多元线性回归

　　3.2讨论样本容量n与自变量个数p的关系，它们对模型的参数估计有何影响？

　　答：在多元线性回归模型中，样本容量n与自变量个数p的关系是：n>>p。如果n<=p对模型的参数估计会带来很严重的影响。因为：

　　1.在多元线性回归模型中，有p+1个待估参数β，所以样本容量的个数应该大于解释变量的个数，否则参数无法估计。

　　2.解释变量X是确定性变量，要求rank(X)p1n，表明设计矩阵X中的自变量列之间不相关，即矩阵X是一个满秩矩阵。若rank(X)p1，则解释变量之间线性相关，(XX)1是奇异阵，则的估计不稳定。

　　3.3证明ˆ2SSEnp1随机误差项ε的方差2的无偏估计。

　　SSE1

　　(ee)1

　　ni1

　　ei2,

　　E(ei2)D(ei)2(1hii)2(1hii)2(nhii)2(np1)

　　E(ˆ

　　)

　　ni1

　　ei2

　　)

　　3.4一个回归方程的复相关系数R=0.99，样本决定系数R2=0.9801，我们能判断这个

　　回归方程就很理想吗？

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　　答：不能断定这个回归方程理想。因为：1.在样本容量较少，变量个数较大时，决定系数的值容易接近1，而此时可能F检

　　验或者关于回归系数的t检验，所建立的回归方程都没能通过。2.样本决定系数和复相关系数接近于1只能说明Y与自变量X1,X2,…,Xp整体上的

　　线性关系成立，而不能判断回归方程和每个自变量是显著的，还需进行F检验和t检验。3.在应用过程中发现，在样本容量一定的情况下，如果在模型中增加解释变量必定使得自由度减少，使得R2往往增大，因此增加解释变量（尤其是不显著的解释变量）个数引起的R2的增大与拟合好坏无关。

　　第4章违背基本假设的情况

　　4.1试举例说明产生异方差的原因。答：例4.1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为

　　Yi=0+1Xi+εi其中：Yi表示第i个家庭的储蓄额，Xi表示第i个家庭的可支配收入。由于高收入家庭储蓄额的差异较大，低收入家庭的储蓄额则更有规律性，差异较小，所以εi的方差呈现单调递增型变化。

　　例4.2：以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型Yi=Aib1Kib2Lib3eεi

　　被解释变量：产出量Y，解释变量：资本K、劳动L、技术A，那么每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。由于每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机误差项的异方差性。这时，随机误差项ε的方差并不随某一个解释变量观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。4.2异方差带来的后果有哪些？答：回归模型一旦出现异方差性，如果仍采用OLS估计模型参数，会产生下列不良后果：1、参数估计量非有效2、变量的显著性检验失去意义3、回归方程的应用效果极不理想总的来说，当模型出现异方差性时，参数OLS估计值的变异程度增大，从而造成对Y的预测误差变大，降低预测精度，预测功能失效。4.3简述用加权最小二乘法消除一元线性回归中异方差性的思想与方法。

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　　答：普通最小二乘估计就是寻找参数的估计值使离差平方和达极小。其中每个平方项的权数相同，是普通最小二乘回归参数估计方法。在误差项等方差不相关的条件下，普通最小二乘估计是回归参数的最小方差线性无偏估计。然而在异方差的条件下，平方和中的每一项的地位是不相同的，误差项的方差大的项，在残差平方和中的取值就偏大，作用就大，因而普通最小二乘估计的回归线就被拉向方差大的项，方差大的项的拟合程度就好，而方差小的项的拟合程度就差。由OLS求出的仍然是的无偏估计，但不再是最小方差线性无偏估计。所以就是：对较大的残差平方赋予较小的权数，对较小的残差平方赋予较大的权数。这样对残差所提供信息的重要程度作一番校正，以提高参数估计的精度。4.4简述用加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的思想与方法。

　　答：运用加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的思想与一元线性回归的

　　类似。多元线性回归加权最小二乘法是在平方和中加入一个适当的权数wi，以调整各项在平方和中的作用，加权最小二乘的离差平方和为：

　　Qw(0,1,,p)wi(yi01xi1pxip)2i1

　　（2）

　　加权最小二乘估计就是寻找参数0,1,,p的估计值ˆ0w,ˆ1w,,ˆpw使式（2）的离

　　差平方和Qw达极小。所得加权最小二乘经验回归方程记做

　　yˆwˆ0wˆ1wx1ˆpwxp多元回归模型加权最小二乘法的方法:

　　（3）

　　首先找到权数

　　，理论上最优的权数

　　为误差项方差

　　的倒数,即

　　（4）

　　误差项方差大的项接受小的权数，以降低其在式（2）平方和中的作用;误差项

　　方差小的项接受大的权数，以提高其在平方和中的作用。由（2）式求出的加权最小

　　二乘估计ˆ0w,ˆ1w,,ˆpw就是参数0,1,,p的最小方差线性无偏估计。

　　一个需要解决的问题是误差项的方差

　　是未知的,因此无法真正按照式（4）选

　　取权数。在实际问题中误差项方差

　　通常与自变量的水平有关(如误差项方差

　　随

　　着自变量的增大而增大),可以利用这种关系确定权数。例如

　　与第

　　个自变量取值的

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　　平方成比例时,

　　即

　　xi2j

　　时,这时取权数为

　　1xi2j

　　（5）

　　更一般的情况是误差项方差

　　与某个自变量

　　(与|ei|的等级相关系数最大的自

　　变量)取值的幂函数

　　ximj

　　成比例，即

　　ximj

　　,其中

　　是待定的未知参数。此时权数为

　　1ximj

　　（6）

　　这时确定权数wi的问题转化为确定幂参数m的问题，可以借助SPSS软件解决。4.7有同学认为当数据存在异方差时，加权最小二乘回归方程与普通最小二乘回归方程之间必然有很大的差异，异方差越严重，两者之间的差异就越大。你是否同意这位同学的观点？说明原因。

　　答：不同意。当回归模型存在异方差时，加权最小二乘估计（WLS）只是普通最小二乘估计（OLS）的改进，这种改进可能是细微的，不能理解为WLS一定会得到与OLS截然不同的方程来，或者大幅度的改进。实际上可以构造这样的数据，回归模型存在很强的异方差，但WLS与OLS的结果一样。加权最小二乘法不会消除异方差，只是消除异方差的不良影响，从而对模型进行一点改进。

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　　第5章自变量选择与逐步回归

　　5.1自变量选择对回归参数的估计有何影响？答：回归自变量的选择是建立回归模型得一个极为重要的问题。如果模型中丢掉了重要的自变量,出现模型的设定偏误，这样模型容易出现异方差或自相关性，影响回归的效果；如果模型中增加了不必要的自变量,或者数据质量很差的自变量,不仅使得建模计算量增大,自变量之间信息有重叠，而且得到的模型稳定性较差，影响回归模型的应用。5.2自变量选择对回归预测有何影响？答：当全模型（m元）正确采用选模型（p元）时，我们舍弃了m-p个自变量，回归系数的最小二乘估计是全模型相应参数的有偏估计，使得用选模型的预测是有偏的，但由于选模型的参数估计、预测残差和预测均方误差具有较小的方差，所以全模型正确而误用选模型有利有弊。当选模型（p元）正确采用全模型（m元）时，全模型回归系数的最小二乘估计是相应参数的有偏估计，使得用模型的预测是有偏的，并且全模型的参数估计、预测残差和预测均方误差的方差都比选模型的大，所以回归自变量的选择应少而精。5.3如果所建模型主要用于预测，应该用哪个准则来衡量回归方程的优劣？答：如果所建模型主要用于预测，则应使用CP统计量达到最小的准则来衡量回归方程的优劣。（即使全模型正确，但仍有可能选模型有更小的预测误差）5.4试述前进法的思想方法。答：前进法的思想是变量由少到多，每次增加一个，直至没有可引人的变量为止。在R中使用前进法做变量选择时，通常将初始模型设定为不包含任何变量，只含有常数项的回归模型，此时回归模型有相应的AIC统计量的值，不妨记为Co。然后，将全部m个自变量分别对因变量y建立m个一元线性回归方程，并分别计算这m个一元回归方程的AIC统计量的值，选其中最小值记为:Cj1。因此，变量xj将首先被引人回归模型，为了方便进一步地说明前进法，不妨将xj记作x1，此时回归方程对应的AIC值记为C1。接下来，因变量y分别对(x1,x2)，(x1,x3)…(x1,xm)建立m-1个二元线性回归方程，对这m-1个回归方程分别计算其AIC统计量的值，选其中最小值记为Cj2则接着将变量xj引人回归模型，此时模型中包含的变量为X1和Xj.依上述方法接着做下去，直至再次引人新变量时，所建立的新回归方程的AIC值不会更小，此时得到的回归方程即为最终确定的方程。

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　　5.5试述后退法的思想方法。答：后退法与前进法相反，通常先用全部m个变量建立二个回归方程，然后计算在剔除任意一个变量后回归方程所对应的AIC统计量的值，选出最小的AIC值所对应的需要剔除的变量，不妨记作X1;然后，建立剔除变量x后因变量y对剩氽m-I个变量的回归方程，计算在该回归方程中再任意剔除-.个变量后所得回归方程的AIC值，选出最小的AIC值并确定应该剔除的变量;依此类推，直至回归方程中剩余的p个变量中再任意剔除一个AIC值都会增加，此时已经没有可以继续剔除的自变量，因此包含这p个变量的回归方程就是最终确定的方程。5.6前进法、后退法各有哪些优缺点？答：前进法的优点是能够将对因变量有影响的自变量按显著性一一选入，计算量小。前进法的缺点是不能反映引进新变量后的变化，而且选入的变量就算不显著也不能删除。后退法的优点是是能够将对因变量没有显著影响的自变量按不显著性一一剔除，保留的自变量都是显著的。后退法的缺点是开始计算量大，当减少一个自变量时，它再也没机会进入了。如果碰到自变量间有相关关系时，前进法和后退法所作的回归方程均会出现不同程度的问题。5.7试述逐步回归法的思想方法。答：逐步回归的基本思想是有进有出.step()函数的具体做法是在给定了包含p个变量的初始模型后，计算初始模型的AIC值，并在此模型基础上分别剔除p个变量和添加剩余m-p个变量中的任一变量后的AIC值，然后选择最小的AIC值决定是否添加新变量或剔除已存在初始模型中的变量。如此反复进行，直至既不添加新变量也不剔除模型中已有的变量时所对应的AIC值最小，即可停止计算，并返回最终结果。

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　　第6章多重共线性的情形及其处理

　　6.1试举一个产生多重共线性的经济实例。答：例如有人建立某地区粮食产量回归模型，以粮食产量为因变量Y，化肥用量为X1，水浇地面积为X2，农业投入资金为X3。由于农业投入资金X3与化肥用量X1，水浇地面积X2有很强的相关性，所以回归方程效果会很差。再例如根据某行业企业数据资料拟合此行业的生产函数时，资本投入、劳动力投入、资金投入与能源供应都与企业的生产规模有关，往往出现高度相关情况，大企业二者都大，小企业都小。6.2多重共线性对回归参数的估计有何影响？答：1、完全共线性下参数估计量不存在；2、近似共线性下OLS估计量非有效；3、参数估计量经济含义不合理；4、变量的显著性检验失去意义；5、模型的预测功能失效。6.3具有严重多重共线性的回归方程能不能用来做经济预测？答：虽然参数估计值方差的变大容易使区间预测的“区间”变大，使预测失去意义。但如果利用模型去做经济预测，只要保证自变量的相关类型在未来期中一直保持不变，即使回归模型中包含严重多重共线性的变量，也可以得到较好预测结果；否则会对经济预测产生严重的影响。6.4多重共线性的产生与样本容量的个数n、自变量的个数p有无关系？答：有关系，增加样本容量不能消除模型中的多重共线性，但能适当消除多重共线性造成的后果。当自变量的个数p较大时，一般多重共线性容易发生，所以自变量应选择少而精。6.5自己找一个经济问题来建立多元线性回归模型，怎样选择变量和构造设计矩阵X才可能避免多重共线性的出现？答：请参考第三次上机实验题——机场吞吐量的多元线性回归模型，注意利用二手数据很难避免多重共线性的出现，所以一般利用逐步回归和主成分回归消除多重共线性。如果进行自己进行试验设计如正交试验设计，并收集数据，选择向量使设计矩阵X的列向量（即X1，X2，Xp）不相关。

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　　第7章岭回归

　　7.1岭回归估计是在什么情况下提出的？答：当自变量间存在复共线性时，｜X’X｜≈0，回归系数估计的方差就很大，估计值就很不稳定，为解决多重共线性，并使回归得到合理的结果，70年代提出了岭回归(RidgeRegression,简记为RR)。7.2岭回归的定义及统计思想是什么？答：岭回归法就是以引入偏误为代价减小参数估计量的方差的一种回归方法，其统计思想是对于（X’X）-1为奇异时，给X’X加上一个正常数矩阵D,那么X’X+D接近奇异的程度就会比X′X接近奇异的程度小得多，从而完成回归。但是这样的回归必定丢失了信息，不满足blue。但这样的代价有时是值得的，因为这样可以获得与专业知识相一致的结果。7.3选择岭参数k有哪几种方法？答：最优k是依赖于未知参数和2的，几种常见的选择方法是：○1岭迹法：选择的点能使各岭估计基本稳定，岭估计符号合理，回归系数没有不合乎经济意义的绝对值，且残差平方和增大不太多；○2方差扩大因子法：c(k)(XXkI)1XX(XXkI)1，其对角线元cjj(k)是岭估计的方差扩大因子。要让cjj(k)10；○3残差平方和：满足SSE(k)cSSE成立的最大的k值。7.4用岭回归方法选择自变量应遵循哪些基本原则？答：岭回归选择变量通常的原则是：1.在岭回归的计算中，我们通常假定涉及矩阵已经中心化和标准化了，这样可以直接比较标准化岭回归系数的大小。我们可以剔除掉标准化岭回归系数比较稳定且绝对值很小的自变量；2.当k值较小时，标准化岭回归系数的绝对值并不很小，但是不稳定，随着k的增加迅速趋近于零。像这样岭回归系数不稳定、震动趋于零的自变量，我们也可以予以剔除；3.去掉标准化岭回归系数很不稳定的自变量。如果有若干个岭回归系数不稳定，究竟去掉几个，去掉那几个，要根据去掉某个变量后重新进行岭回归分析的效果来确定。

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篇四：应用回归分析心得体会

　　对回归分析的认识、体会和思考

　　市第一中学潘峰一、教材分析1．容编排

　　散点图、最小二乘估计的基本思想、最小二乘估计的计算公式、建立回归方程并进行预报等回归分析的部分容在《数学3（必修）》中已经出现过。在此基础上，本章通过现实生活中遇到的问题“女大学生身高和体重的关系”进一步讨论一元线性回归模型，分析产生模型中随机误差项的原因，并从相关系数的角度研究了两个变量间线性相关关系的强弱，从而让学生了解在什么情况下可以考虑使用线性回归模型。教材介绍了一元线性回归模型的残差平方和分解的思想，从而给出相关指数的含义，即相关指数越大，模型拟合的效果越好。从残差分析的角度研究所选用的回归模型是否合适，引导学生初步体会检验模型的思想。为提高学生解决应用问题的能力，教材还强调了用解释变量（自变量）估计预报变量（因变量）时需要注意的问题（这点总结得非常的好，帮助学生思考），总结建立回归模型的基本步骤。作为线性回归模型的一个应用，教材还给出了一个处理非线性相关关系的例子，并通过相关指数比较不同模型对同一样本数据集的拟合效果。这里所涉及的非线性相关关系可以通过变换转化成线性相关关系，从而可以用线性回归模型进行研究。这个例子没有增加难度，但能开阔学生的思路，使学生了解虽然任何数据对都可以用线性回归模型来拟合，但其拟合的效果并不一定最好，可以探讨用其他形式的回归模型来拟合观测数据。2．学习价值：⑴．数理统计已成为人们的常识，它几乎渗透到每一学科中，哪里有试验，哪里有数据，哪里就少不了数理统计，不懂数理统计，就无法应付大量信息；⑵．现代社会是信息社会，学会搜集、测量、评价信息做出决策是一个人成功必备的素质。3．教材处理的优点：⑴．总以一些生动活泼的、丰富的实际情境引入，激发学生的兴趣和学习激情；⑵．以恰时恰点的问题引导学生思考，培养问题意识，孕育创新精神；（这点对我们教师的思考也是一种帮助）⑶．螺旋上升地安排核心概念和数学思想，加强数学思想方法的渗透与概括；⑷．对高等知识点到即止，强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法的运用，开阔视野，提高数学思维能力，培育理性精神。4．重点和难点

　　Word文档

　　重点：了解线性回归模型与函数模型的差异；了解判断刻画模型拟合效果的方法—相关指数和残差分析。

　　难点：解释残差变量的含义；了解偏差平方和分解的思想。5．目标定位：⑴．了解随机误差、残差、残差分析等概念；明确掌握相关关系，回归方程，散点图等定义；⑵．了解回归分析的基本思想，会求回归直线方程，并会用回归直线方程进行预报；⑶．掌握建立回归模型的一般步骤；⑷．会用残差分析、判断线性回归模型的拟合效果；⑸．了解相关系数、会用相关系数判断相关关系的强弱；5．方法指引：⑴．对于回归分析只通过案例了解方法即可，不论是线性回归方程或者非线性回归方程，都只是模拟而已，是不确定中的确定性；⑵．了解最小乘法的思想方法，理解回归方程与一般函数的差别与联系；⑶．会用书中介绍的方法搜集资料、分析资料，感兴趣的同学可从互联网上查询相关资料。二、教材中的要点精析：1．相关关系：自然界中，大量存在着一些变量，它们之间相互联系、相互依存，关系密切。大致分为两类：一类是函数关系，又叫确定性关系；一类是相关关系，又叫不确定性关系、统计相关关系。2．回归分析：是对具有相关关系的两变量进行统计分析的一种常用方法。通俗地讲，回归分析就是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性。其步骤为画散点图，求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报。

　　3．回归函数，也叫回归方程。形如ybxa的散点图的各个点大致分布在一条直线附近，这种分

　　析就叫线性回归分析，直线方程叫做回归直线方程。不是形如ybxa的回归方程，我们称之为

　　非线性回归方程，具体选择何种类型，由经验判断，再分析残差是否异常，确定选择的好与坏。

　　回归直线：对于一组线性相关关系的数据，其回归直线方程的斜率b和截距a的最小乘法估计公式

　　分别为：

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　　(xix)(yiy)

　　bi1n

　　(xix)2

　　（1）

　　aybx,

　　（2）

　　其中x

　　ni1

　　xi,

　　ni1

　　yi.

　　(x,y)称为样本点的中心，回归直线过样本点的中心。

　　线性回归模型：与函数关系不同，在回归模型ybxae中的y的值是由x和随机因素e共同确

　　定的，即x只能解释部分y的变化，因此把x称为解释变量，把y称为预报变量，其中a和b为模型

　　的未知参数，e是y与bxa之间的误差。通常e为随机变量，称为随机误差，它的均值Eybxa。

　　线性回归模型的完整表达式为：ybxae，其中随机误差e的方差越小，通过回归直线预报

　　真实值的精确度越高。随机误差e是引起预报值y与真实值y之间误差的原因之一，其大小取决于

　　随机误差e的方差。再者由于公式（1）、（2）中的a和b分别为截距和斜率的估计值，与真实值a和b

　　之间也有误差，这也是引起预报值y与真实值y之间误差的另一个原因。

　　4．残差分析

　　因为随机误差是随机变量，因此可以通过这个变量的数字特征来刻画它的一些总体特征。均值是反

　　映随机变量取值平均水平的数字特征，方差反映随机变量集中于均值程度的数字特征，而随机误差

　　的均值0，因此可以用方差来衡量随机误差的大小。为了衡量预报的精度，需要估计ei的值，通过

　　样本方差来估计总体方差。解决问题的途径是通过样本的估计值ei来估计ei的值。

　　根据截距和斜率的估计公式（1）、（2），可以建立回归方程ybxa，其中b是b的估计量，a是

　　a的估计量。对于样本点而言，相应于它们的随机误差为ei，其估计值为ei，称为相应于数据点

　　的残差。类比样本方差估计总体方差的思想，可用yi作为yi的估计量，其中yi是由公式（1）、（2）

　　给出的，(yiyi)2成为残差平方和。可以用残差平方和衡量回归方程的预报精度。通常残差平

　　方和越小，预报精度越高。

　　在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回

　　归模型来拟合数据。然后，可以通过残差e1,e2,,en来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否

　　Word文档

　　存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计等，这样作出的图形称为残差图。5．散点图表示相关关系的两个变量的一组数据，作为点的坐标，在直角坐标系中描出来得到的图形叫散点图。散点图使相关关系具有直观性。6．回归分析的解题规律：a)在解具体问题过程中，通常是先进行相关检验，通过检验确认两个变量具有线性相关关系时，再求其线性回归方程；

　　b)相关性检验有几种方法，教材用的是相关系数r和相关指数R2，两者在教材中具有平方关系（在只有一个解释变量的线性模型中R2恰好等于相关系数r的平方）。当r0时，表明两个变量正相关；当r0时，表明两个变量负相关。当r越接近于1，表示相关程度越好，表明两个变量的线性相关性越强，r越接近于0，表示相关程度越差，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系；同样R2取

　　值越大，意味着残差平方和越小，模型的拟和效果越好，回归方程的预报精度越高。在线性回归模

　　型中，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近1，表示回归的效果越好。

　　c)相关程度的强弱，除相关系数的大小之外，与选取的数据个数多少有关，还有一个问题是显著性临界值的选取，教材中点到即止，没有往下交待；d)回归分析计算量大，现在一般用计算机解决，学习中只要求明白原理即可；e)教材中直接选取对数变换是选取比较简单的函数演示而已，还可以做其他函数模拟；f)回归分析中，通常先观察散点图，若分布在一条直线附近，经验证线性相关，则选一次函数，否则选取其他函数模拟；

　　g)判断两个变量的相关程度通常有：其一相关系数，相关系数r的绝对值越接近于1，相关程度越高；相关指数R2，与r类似，R2的值越大残差平方和越小，拟合越精确。h)判断模拟精确的尺度为：R2（或残差平方和）的大小。

　　7．建立回归模型的一般的基本步骤：①确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；②画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）；

　　Word文档

　　③由经验确定回归方程的类型（如观察到的数据呈现性关系，则选用线性回归方程ybxa）；

　　④按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）；⑤得出的结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等等），若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。[典型例题]例1．已知10只狗的血球体积及红血球的测量值如下

　　x45424648423558403950y6.536.309.257.506.995.909.496.206.557.72x（血球体积，ｍｍ），y（红血球数，百万）

　　(1)画出上表的散点图;(2)求出回归直线并且画出图形（3）若血球体积为49ｍｍ，预测红血球数大约是多少？

　　解：（１）见下图（要学会运用计算机技术辅助我们数学学习，加强直观上的效果，这里要求学生会运用简单的excel作出散点图，并直接通过计算机拟合出回归直线，具体步骤见本文最后的附录）。

　　红血球数

　　109876543210

　　血球体积

　　设回归直线为ybxa，

　　利用公式（1）、（2）计算得b0.1597,a0.1364

　　所以所求回归直线的方程为y=0.1597x+0.1364，图形如下:

　　Word文档

　　红血球数

　　109876543210

　　血球体积

　　（3）由（2）中求出的回归直线方程，把x49代入，得y7.9617（百万），计算结果表明，当

　　血球体积为49mm时，红血球数大约为7.9617百万。

　　[实战演练]1.某种产品表面进行腐蚀性试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间t之间对应的一组数据：

　　时间t(s)

　　5101520304050607090120

　　深度y(m)610101316171923252946

　　（1）试求腐蚀深度y对时间t的回归直线方程；（2）预测腐蚀时间为80s时产品腐蚀的深度大约是

　　多少？

　　解：（1）经计算可得b0.3043,a5.3444

　　故所求的回归直线方程为y=0.3043x+5.3444

　　（2）由（1）求出的回归直线方程，把x80代入，易得y29.6884(m)，计算结果表明，当腐

　　蚀80s时产品腐蚀深度大约为29.6884m

　　8．非线性回归：在散点图中样本点并没有分布在某个带壮区域，因此两个变量不呈线性相关关系，不能直接用线性

　　回归方程来建立两个变量之间的关系。当回归方程不是形如ybxa时，称之为非线性回归方程。

　　在一般情况下，比较两个模型的残差比较困难，原因是在某些样本点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型的小，而另一些样本点的情况则相反。这是可以通过比较两个模型的残差平方和的大小来判断模型的拟合效果。残差平方和越小的模型，拟合的效果越好。

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　　两个模型拟合效果的比较步骤：

　　对于给定的样本点，两个含有未知参数的模型yc1ec2x和yc3x2c4

　　其中c1,c2,c3,c4是未知参数。

　　可按如下步骤来比较它们的拟合效果：

　　(1)

　　(2)

　　①分别建立对应与两个模型的回归方程yec1'xc2'与yc3'x2c4'，其中这里的

　　c1',c2',c3',c4'为已知的；

　　(1)(2)

　　②可以分别计算两个回归方程的残差ei与ei，比较两个模型的残差的绝对值，绝对值小的拟合

　　(1)

　　(2)

　　的效果好；也可以分别计算两个回归方程的残差平方和(yiyi)2和(yiyi)2，残差平

　　方和小的模型拟合的效果好；

　　三、结束语

　　在统计中，回归分析是应用很广的。在中学，要讨论回归方程的‘求法’，这部分容属于统计

　　中对回归系数的‘估计’；另一部分是，判断回归方程是否有意义，这属于‘假设检验’。在中学

　　的教学中，首先要让学生理解这里讨论的相关关系和过去学的函数关系的区别，这很重要。在估计

　　问题中，应要求学生自己探索回归直线的求法（事实上，通过老师启发学生可以给出许多方法）。在

　　统计中，重要的是寻找好的方法，而不是套用公式计算。从历史上看，拉普拉斯、欧拉等许多大数

　　学家都曾为寻找这一直线而努力，他们的做法并不成功。后来，由勒让德、高斯提出了最小二乘法。

　　套用公式计算回归系数，对学生来说并不困难。但这里应该让学生体会到，数学中介绍的方法是前

　　人经过长期探索才得到的。体会在统计中寻找方法的重要。

　　作为老师应该清楚，之所以用最小二乘法，是因为这样得到的估计量，在许多标准下是‘好’

　　的。而这些标准我们在中学无法讲授。另外，根据实际问题的需要，完全可以用别的方法，例如，

　　把误差的平方改为误差的绝对值，或把误差改为求点到直线的‘距离’等等。人们现在正是这样做

　　的。不应该让学生错误地以为最小二乘法是绝对的、永远是最优的。

　　应该让学生关注方程的意义和合理性。可以通过例子，提示回归系数计算的‘不合理性’：比

　　如，如果在圆上取一组点，仍可套用公式，用这组点的坐标得到一个回归直线方程，这样的直线显

　　然是没意义的。

　　以上就是我个人对人教A版教材选修1-2中的回归分析容的一些认识、体会和一些小小思考,

　　不足之处希望各位老师指出。事实上新教材还有许多处理方法均起到优化课堂教学模式、提高课堂

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　　教学效益、减轻学生课业负担的作用,达到“少课时、轻负担、高质量”的目的,希望能和广大一线教师一起在这方面作进一步的探讨。附录：excel作散点图步骤：1．先将收集的数据以列的形式输入excel中，然后选中这两列数据点击〈插入〉中的〈图表〉进入

　　后选择〈散点图〉即可，其他的选项视自身情况而定；2．作出散点图后，可以选中图中的散点，点击右键选择〈添加趋势线〉，在〈类型〉中选择〈线

　　性〉，然后在〈选项〉中选择〈显示公式〉，点击完成即可看到拟合的直线和回归直线的方程，还可以在上一步的〈选项〉中追加选择〈显示R平方值〉，以观察拟合的程度。

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篇五：应用回归分析心得体会

　　一、什么是回归分析

　　回归分析（RegressionAnalysis）是研究变量之间作用关系的一种统计分析方法，其基本组成是一个（或一组)自变量与一个(或一组）因变量。回归分析研究的目的是通过收集到的样本数据用一定的统计方法探讨自变量对因变量的影响关系，即原因对结果的影响程度。

　　回归分析是指对具有高度相关关系的现象，根据其相关的形态，建立一个适当的数学模型(函数式），来近似地反映变量之间关系的统计分析方法.利用这种方法建立的数学模型称为回归方程,它实际上是相关现象之间不确定、不规则的数量关系的一般化。

　　二、回归分析的种类

　　1。按涉及自变量的多少，可分为一元回归分析和多元回归分析一元回归分析是对一个因变量和一个自变量建立回归方程。多元回归分析是对一个因变量和两个或两个以上的自变量建立回归方程。

　　2。按回归方程的表现形式不同，可分为线性回归分析和非线性回归分析

　　若变量之间是线性相关关系，可通过建立直线方程来反映，这种分析叫线性回归分析。

　　若变量之间是非线性相关关系，可通过建立非线性回归方程来反映，这种分析叫非线性回归分析.

　　三、回归分析的主要内容

　　1.建立相关关系的数学表达式。依据现象之间的相关形态,建立适当的数学模型，通过数学模型来反映现象之间的相关关系，从数量上近似地反映变量之间变动的一般规律。

　　2.依据回归方程进行回归预测.由于回归方程反映了变量之间的一般性关系，因此当自变量发生变化时，可依据回归方程估计出因变量可能发生相应变化的数值。因变量的回归估计值，虽然不是一个必然的对应值（他可能和系统真值存在比较大的差距)，但至少可以从一般性角度或平均意义角度反映因变量可能发生的数量变化.

　　3.计算估计标准误差。通过估计标准误差这一指标，可以分析回归估计值与实际值之间的差异程度以及估计值的准确性和代表性，还可利用估计标准误差对因变量估计值进行在一定把握程度条件下的区间估计.

　　四、一元线性回归分析

　　1.一元线性回归分析的特点

　　1)两个变量不是对等关系，必须明确自变量和因变量。

　　2)如果x和y两个变量无明显因果关系，则存在着两个回归方程：一个是以x为自变量，y

　　为因变量建立的回归方程;另一个是以y为自变量，x为因变量建立的回归方程。若绘出图形，则是两条斜率不同的回归直线。

　　3)直线回归方程中，回归系数b可以是正值，也可以是负值.若0b>，表示直线上升,说明两个变量同方向变动；若0b<,表示直线下降，说明两个变量是反方向变动。2.建立一元线性回归方程的条件任何一种数学模型的运用都是有前提条件的，配合一元线性回归方程应具备以下两个条件：

　　1)两个变量之间必须存在高度相关的关系。两个变量之间只有存在着高度相关的关系，回归方程才有实际意义。

　　2）两个变量之间确实呈现直线相关关系。两个变量之间只有存在直线相关关系，才能配合直线回归方程。

　　3.建立一元线性回归方程的方法一元线性回归方程是用于分析两个变量（一个因变量和一个自变量）线性关系的数学表达式，一般形式为：yc=a+bx式中：x代表自变量;yc代表因变量y的估计值（又称理论值）；ab为回归方程参数.其中，a是直线在y轴上的截距，它表示当自变量x等于0时，因变量所达到的数值；b是直线的斜率,在回归方程中亦称为回归系数，它表示当自变量x每变动一个单位时，因变量y平均变动的数值。一元线性回归方程应根据最小二乘法原理建立，因为只有用最小二乘法原理建立的回归方程才可以同时满足两个条件：

　　1)因变量的实际值与回归估计值的离差之和为零；2）因变量的实际值与回归估计值的离差平方和为最小值.只有满足这两个条件,建立的直线方程的误差才能最小，其代表性才能最强。现在令要建立的一元线性回归方程的标准形式为yc=a+bx，依据最小二乘法原理，因变量实际值y与估计值yc的离差平方和为最小值,即Q=∑(y-yc）2取得最小值。为使Q=∑（y-yc）2=最小值

　　根据微积分中求极值的原理,需分别对a,b求偏导数，并令其为0，经过整理，可得到如下方

　　程组：∑y=an+b∑x∑xy=a∑x+b∑x2解此方程组，可求得a,b两个参数

　　式中：sy——估计标准误差；y——因变量实际观察值;yc——因变量估计值；n-2—-自由度如何描述两个变量之间线性相关关系的强弱？利用相关系数r来衡量

　　当r>0时，表示x与y为正相关；当r<0时，表示x与y为负相关。

　　5。残差分析与残差图：

　　残差是指观测值与预测值(拟合值)

　　之间的差，即是实际观察值与回归估计值的差

　　在研究两个变量间的关系时，a)要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关；

　　b）判断是否可以用回归模型来拟合数据；c）可以通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据,这方面的分析工作就称为残差分析。6.残差图的制作及作用。坐标纵轴为残差变量,横轴可以有不同的选择；若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带状区域，带状区域的宽度越窄精度越高.对于远离横轴的点，要特别注意。

　　7.几点注解：第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误,就应该予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据;如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因.另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。还可以用判定系数r2来刻画回归的效果，该指标测度了回归直线对观测数据的拟合程度，其计算公式是：

　　其中：SSR-回归平方和；SSE-残差平方和；Sst=ssr+sse总离差平方和.由公式知，R（相关指数）的值越大,说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好.在含

　　有一个解释变量的线性模型中r2恰好等于相关系数r的平方,即R2=r2在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率。R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解释变量和预报变量的线性相关性越强）。如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。总的来说：相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中,它代表自变量刻画预报变量的能力.五、多元线性回归分析在一元线性回归分析中，因变量y只受某一个因素的影响，即只由一个自变量x来估计。但对于复杂的自然界中的问题，影响因素往往很多，在这种情况下,因变量y要用多个自变量同时进行估计。例如，某种产品的总成本不仅受原材料价格的影响，而且也与产品产量、管理水平等因素有关；农作物产量的髙低受品种、气候、施肥量等多个因素的影响.描述因变量与两个或两个以上自变量之间的数量关系的回归分析方法称为多元线性回归分析。它是一元线性回归分析的推广，其分析过程相对复杂一些，但基本原理与一元线性回归分析类似.多元线性回归方程的一般表达式为:

　　为便于分析，当自变量较多时可选用两个主要的自变量x1和x2.其线性回归方程标准式为：

　　其中：yc为二元回归估计值;a为常数项；b1和b2分别为y对x1和x2的回归系数，b1表示当自变量x2为一定时，由于自变量x1变化一个单位而使y平均变动的数值，b2表示当自变量x1为一定时，由于自变量x2变化一个单位而使y平均变动的数值,因此，b1和b2称为偏回归系数。要建立二元回归方程，关键问题是求出参数a,b1和b2的值，求解方法仍用最小二乘法，即分别对a,b1和b2求偏导数,并令函数的一阶导数等于零，可得如下方程组：

　　(二）

　　在回归分析中，通常称自变量为回归因子，一般用

　　般用

　　表示。预测公式：

　　表示,而称因变量为指标，一，称之为回归方程。回归

　　模型,按照各种原则可以分为各种模型：1.当n=1时，称为一元(单因子）回归；当n≥2时，称为多元（多因子)回归。2。当f为线性函数时，称为线性回归;当f为非线性函数时，称为非线性(曲线）回归。最小二乘准则：

　　假设待定的拟合函数为

　　，另据m个数据点,相当于求解以下规划问题:

　　即使得总离差平方和最小.具体在线性拟合的过程中,假设拟合函数为y=a+bx，a与b为待定

　　系数,已知有m个数据点，分别为

　　,应用最小二乘法,就是要使：

　　达到最小值.把S看成自变量为a和b的连续函数，则根据连续函数达到及致电的必要条件，于是得到：

　　因此，当S取得最小值时，有:

　　可得方程组为：称这个方程组为正规方程组，解这个二元一次方程组，得到：

　　如果把已有数据描绘成散点图，而且从散点图中可以看出，各个数据点大致分布在一条直线

　　附近，不妨设他们满足线性方程:定系数；ε成为误差项或者扰动项。

　　其中，x为自变量，y为因变量,a与b为待

　　这里要对数据点做线性回归分析，从而a和b就是待定的回归系数，ε为随机误差。

　　不妨设得到的线性拟合曲线为:

　　这就是要分析的线性回归方程。一般情况下，得到这个方程以后，主要是描绘出

　　回归曲线，并且观测拟合效果和计算一些误差分析指标，例如最大点误差、总方差和标准差等.

　　这里最缺乏的就是一个统一的评价系统,以下说明从概率角度确立的关于线性回归的一套评价系统.

　　在实际的线性回归分析中，除了估计出线性回归系数a和b，还要计算y和x的相关程度，即相关性检验。相关性检验主要通过计算相关系数来分析，相关系数的计算公式为:

　　其中n为数据点的个数，

　　为原始数据点,r的值能够很好地反映出线性相关程度的高

　　低，一般来说，存在以下一些标准：

　　1.当r→1或者r→−1时，表示y与x高度线性相关，于是由原始数据描绘出的散点图中所有数据点都分布在一条直线的附近，分别称为正相关和负相关；

　　2.当r→0时，表示y与x不相关，由原始数据描绘出的散点图的数据点一般呈无规律的特点四散分布；

　　3。当−1〈r<0或者0〈r<1时，y与x的相关程度介于1与2之间；4。如果r→1，则y与x线性相关程度越高;反之,如果r→0,则y与x线性相关程度越低。实际计算r值的过程中，长列表计算，即:

　　在实际问题中，一般要保证回归方程有最低程度的线性相关。因为许多实际问题中,两个变量之间并非线性的相关关系，或者说线性相关程度不高,此时硬给他建立线性回归方程，显然没有太大意义，也没有什么实用价值。

　　一般来说，把这个最低限度的值记为临界值，称之为相关性检验标准。因此，如果计算

　　出r的值，并且满足

　　，则符合相关性要求，线性回归方程作用显著。反之，如果

　　，则线性回归方程作用不显著，就尽量不要采用线性回归方程。临界值的数值表如下：

　　其中，自由度可以由原始数据点的个数减去相应的回归方程的变量个数,例如线性回归方程中有两个变量,而数据点的个数为n个，则自由度为n−2.自由度一般记为f，但不要与一般的函数发生混淆。显著性水平一般取为0。01,0.02，0.05等，利用它可以计算y与x之间相关关系的可信程度或者称为置信水平，计算公式为:

　　（这里取显著性水平为α=0.05）

　　现在介绍置信区间的问题,由于实际误差的存在，由线性拟合得到的计算值跟实际值之间必

　　然存在一定的差距，其差值就是计算误差。假设原始数据点为

　　，计算得到的数据点

　　为

　　，再给定附近的一个区间:

　　也可能落在这个区间外。如果所有的这些区间

　　则实际值yi可能落在这个区间内，

　　(以为中心，长度为）包含实际值的个数占总数的比例达到95％或者以上，则称这些区间的置信水平不少于95％

　　根据以上的分析，可以知道置信区间的概念，如果确定了置信水平为95％，从而可以找到

　　相应的最小的Δt值，使得95%以上的实际值落在区间

　　内，则

　　称为预测值满足置信水平95％的置信区间。一般情况下,如果不做特别说明,置信区间的相应置信水平默认为95％,置信区间反映了回归方程的适用范围和精确度，特别的，当所有离散数据分布在回归曲线的附件,大致呈现为正态分布时，置信区间为：

　　其中S为该回归模型的标准差，计算公式为:

　　或者为:

　　那么,如果回归方程为y=a+bx,则有两条控制直线分别为

　　和

　　，他们代表了置信区间的上限和下限,如下图所示:

　　那么，可以预料实际的数据点几乎全部（至少95%)落在上图两条虚线所夹的区域内。

　　这里对回归方程的应用做一个总结：

　　1.估计、预测指标值.对于因子x的一个给定值x0，代入回归预测方程即可求出相应的指

　　标值

　　,称为指标y0的点估计,相应预测误差为

　　但是，真实指标y0的

　　值一般无法确知，预测精度只能根据回归误差来做估计。在回归预测中，预测的精度可以用

　　均方差和标准差的比值来估计;

　　2.估计指标值范围.估计指标值的范围，就是求给定x0,相应于某个给定的置信水平的置信区间。具体的求法，要应用到t分布；

　　3.控制因子取值。在某些实际问题中，特别当因子值可以人为的控制、调解时，也可以根据所要达到的指标值,反过来推出因子的取值，这就是因子值的控制。

篇六：应用回归分析心得体会

　　一、什么是回归分析

　　二、回归分析的种类

　　2.按回归方程的表现形式不同，可分为线性回归分析和非线性回归分析

　　若变量之间是线性相关关系，可通过建立直线方程来反映，这种分析叫线性回归分析。

　　若变量之间是非线性相关关系，可通过建立非线性回归方程来反映，这种分析叫非线性回归分析。

　　三、回归分析的主要内容

　　四、一元线性回归分析

　　1.一元线性回归分析的特点

　　1)两个变量不是对等关系，必须明确自变量和因变量。

　　2)如果x和y两个变量无明显因果关系，则存在着两个回归方程：一个是以x为自变量，y为因变量建立的回归方程；另一个是以y为自变量，x为因变量建立的回归方程。若绘出图

　　形，则是两条斜率不同的回归直线。3)直线回归方程中，回归系数b可以是正值，也可以是负值。若0b>，表示直线上升，说明两个变量同方向变动；若0b<，表示直线下降，说明两个变量是反方向变动。2.建立一元线性回归方程的条件任何一种数学模型的运用都是有前提条件的，配合一元线性回归方程应具备以下两个条件：1)两个变量之间必须存在高度相关的关系。两个变量之间只有存在着高度相关的关系，回归方程才有实际意义。2)两个变量之间确实呈现直线相关关系。两个变量之间只有存在直线相关关系，才能配合直线回归方程。3.建立一元线性回归方程的方法一元线性回归方程是用于分析两个变量（一个因变量和一个自变量）线性关系的数学表达式，一般形式为：yc=a+bx式中：x代表自变量；yc代表因变量y的估计值(又称理论值)；ab为回归方程参数。其中，a是直线在y轴上的截距，它表示当自变量x等于0时，因变量所达到的数值；b是直线的斜率,在回归方程中亦称为回归系数,它表示当自变量x每变动一个单位时，因变量y平均变动的数值。一元线性回归方程应根据最小二乘法原理建立，因为只有用最小二乘法原理建立的回归方程才可以同时满足两个条件：1)因变量的实际值与回归估计值的离差之和为零；2)因变量的实际值与回归估计值的离差平方和为最小值。只有满足这两个条件，建立的直线方程的误差才能最小，其代表性才能最强。现在令要建立的一元线性回归方程的标准形式为yc=a+bx,依据最小二乘法原理，因变量实际值y与估计值yc的离差平方和为最小值,即Q=∑(y-yc)2取得最小值。为使Q=∑(y-yc)2=最小值根据微积分中求极值的原理，需分别对a,b求偏导数，并令其为0，经过整理，可得到如下方程组：∑y=an+b∑x

　　∑xy=a∑x+b∑x2解此方程组，可求得a,b两个参数

　　4.计算估计标准误差

　　回归方程只反映变量x和y之间大致的、平均的变化关系。因此，对每一个给定的x值，回归方程的估计值yc与因变量的实际观察值y之间总会有一定的离差，即估计标准误差。

　　估计标准误差是因变量实际观察值y与估计值yc离差平方和的平均数的平方根，它反映因变量实际值y与回归直线上各相应理论值yc之间离散程度的统计分析指标。

　　估计标准误差：

　　式中：sy——估计标准误差；y——因变量实际观察值；yc——因变量估计值；n-2——自由度如何描述两个变量之间线性相关关系的强弱利用相关系数r来衡量

　　当r>0时，表示x与y为正相关;当r<0时，表示x与y为负相关。

　　5.残差分析与残差图：

　　残差是指观测值与预测值（拟合值）

　　之间的差，即是实际观察值与回归估计值的差

　　在以横轴为心的带状区域，带状区域的宽度越窄精度越高。对于远离横轴的点，要特别注意。

　　其中：SSR-回归平方和；SSE-残差平方和；Sst=ssr+sse总离差平方和。由公式知，R（相关指数）的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。在含有一个解释变量的线性模型中r2恰好等于相关系数r的平方，即R2=r2在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率。R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解释变量和预报变量的线性相关性越强）。如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。总的来说：相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。五、多元线性回归分析在一元线性回归分析中，因变量y只受某一个因素的影响，即只由一个自变量x来估计。但对于复杂的自然界中的问题，影响因素往往很多，在这种情况下，因变量y要用多个自变量同时进行估计。例如，某种产品的总成本不仅受原材料价格的影响，而且也与产品产量、管理水平等因素有关；农作物产量的髙低受品种、气候、施肥量等多个因素的影响。描述因变量与两个或两个以上自变量之间的数量关系的回归分析方法称为多元线性回归分析。它是一元线性回归分析的推广，其分析过程相对复杂一些，但基本原理与一元线性回归分析类似。多元线性回归方程的一般表达式为：

　　为便于分析，当自变量较多时可选用两个主要的自变量x1和x2。其线性回归方程标准式为：

　　其中：yc为二元回归估计值；a为常数项；b1和b2分别为y对x1和x2的回归系数，b1表示当自变量x2为一定时，由于自变量x1变化一个单位而使y平均变动的数值，b2表示当自变量x1为一定时，由于自变量x2变化一个单位而使y平均变动的数值，因此，b1和b2称为偏回归系数。要建立二元回归方程，关键问题是求出参数a，b1和b2的值，求解方法仍用最小二乘法，即分别对a，b1和b2求偏导数，并令函数的一阶导数等于零，可得如下方程组：

　　达到最小值。把S看成自变量为a和b的连续函数，则根据连续函数达到及致电的必要条件，于是得到：

　　因此，当S取得最小值时，有：

　　可得方程组为：

　　称这个方程组为正规方程组，解这个二元一次方程组，得到：

　　如果把已有数据描绘成散点图，而且从散点图中可以看出，各个数据点大致分布在一条直线附近，不妨设他们满足线性方程：其中，x为自变量，y为因变量，a与b为待定系数；ε成为误差项或者扰动项。这里要对数据点做线性回归分析，从而a和b就是待定的回归系数，ε为随机误差。不妨设得到的线性拟合曲线为：这就是要分析的线性回归方程。一般情况下，得到这个方程以后，主要是描绘出回归曲线，并且观测拟合效果和计算一些误差分析指标，例如最大点误差、总方差和标准差等。这里最缺乏的就是一个统一的评价系统，以下说明从概率角度确立的关于线性回归的一套评价系统。在实际的线性回归分析中，除了估计出线性回归系数a和b，还要计算y和x的相关程度，即相关性检验。相关性检验主要通过计算相关系数来分析，相关系数的计算公式为：

　　其中n为数据点的个数，为原始数据点，r的值能够很好地反映出线性相关程度的高低，一般来说，存在以下一些标准：1.当r→1或者r→−1时，表示y与x高度线性相关，于是由原始数据描绘出的散点图中所有数据点都分布在一条直线的附近，分别称为正相关和负相关；2.当r→0时，表示y与x不相关，由原始数据描绘出的散点图的数据点一般呈无规律的特点四散分布；3.当−1<r<0或者0<r<1时，y与x的相关程度介于1与2之间；4.如果r→1，则y与x线性相关程度越高；反之，如果r→0，则y与x线性相关程度越低。实际计算r值的过程中，长列表计算，即：

　　在实际问题中，一般要保证回归方程有最低程度的线性相关。因为许多实际问题中，两个变量之间并非线性的相关关系，或者说线性相关程度不高，此时硬给他建立线性回归方程，显然没有太大意义，也没有什么实用价值。一般来说，把这个最低限度的值记为临界值，称之为相关性检验标准。因此，如果计算出r的值，并且满足，则符合相关性要求，线性回归方程作用显著。反之，如果，则线性回归方程作用不显著，就尽量不要采用线性回归方程。临界值的数值表如下：

　　其中，自由度可以由原始数据点的个数减去相应的回归方程的变量个数，例如线性回归方程中有两个变量，而数据点的个数为n个，则自由度为n−2.自由度一般记为f，但不要与一般的函数发生混淆。显著性水平一般取为,,等，利用它可以计算y与x之间相关关系的可信程度或者称为置信水平，计算公式为：(这里取显著性水平为α=)现在介绍置信区间的问题，由于实际误差的存在，由线性拟合得到的计算值跟实际值之间必然存在一定的差距，其差值就是计算误差。假设原始数据点为，计算得到的数据点为，再给定附近的一个区间：则实际值yi可能落在这个区间内，也可能落在这个区间外。如果所有的这些区间(以为中心，长度为)包含实际值的个数占总数的比例达到95%或者以上，则称这些区间的置信水平不少于95%根据以上的分析，可以知道置信区间的概念，如果确定了置信水平为95%，从而可以找到相应的最小的Δt值，使得95%以上的实际值落在区间内，则称为预测值满足置信水平95%的置信区间。一般情况下，如果不做特别说明，置信区间的相应置信水平默认为95%，置信区间反映了回归方程的适用范围和精确度，特别的，当所有离散数据分布在回归曲线的附件，大致呈现为正态分布时，置信区间为：其中S为该回归模型的标准差，计算公式为：

　　或者为：

　　那么，如果回归方程为y=a+bx，则有两条控制直线分别为和，他们代表了置信区间的上限和下限，如下图所示：

　　那么，可以预料实际的数据点几乎全部(至少95%)落在上图两条虚线所夹的区域内。

　　这里对回归方程的应用做一个总结：

　　1.估计、预测指标值。对于因子x的一个给定值x0，代入回归预测方程即可求出相应的指标值，称为指标y0的点估计，相应预测误差为但是，真实指标y0的值一般无法确知，预测精度只能根据回归误差来做估计。在回归预测中，预测的精度可以用均方差和标准差的比值来估计；

　　2.估计指标值范围。估计指标值的范围，就是求给定x0，相应于某个给定的置信水平的置信区间。具体的求法，要应用到t分布；

篇七：应用回归分析心得体会

　　一、什么是回归分析

　　回归分析（RegressionAnalysis）是研究变量之间作用关系的一种统计分析方法,其基本组成是一个（或一组）自变量与一个(或一组)因变量。回归分析研究的目的是通过收集到的样本数据用一定的统计方法探讨自变量对因变量的影响关系，即原因对结果的影响程度。

　　回归分析是指对具有高度相关关系的现象，根据其相关的形态，建立一个适当的数学模型(函数式），来近似地反映变量之间关系的统计分析方法。利用这种方法建立的数学模型称为回归方程，它实际上是相关现象之间不确定、不规则的数量关系的一般化。

　　二、回归分析的种类

　　2。按回归方程的表现形式不同，可分为线性回归分析和非线性回归分析

　　若变量之间是线性相关关系，可通过建立直线方程来反映,这种分析叫线性回归分析。

　　若变量之间是非线性相关关系，可通过建立非线性回归方程来反映，这种分析叫非线性回归分析。

　　三、回归分析的主要内容

　　1.建立相关关系的数学表达式。依据现象之间的相关形态，建立适当的数学模型，通过数学模型来反映现象之间的相关关系,从数量上近似地反映变量之间变动的一般规律。

　　2.依据回归方程进行回归预测。由于回归方程反映了变量之间的一般性关系，因此当自变量发生变化时,可依据回归方程估计出因变量可能发生相应变化的数值.因变量的回归估计值，虽然不是一个必然的对应值（他可能和系统真值存在比较大的差距)，但至少可以从一般性角度或平均意义角度反映因变量可能发生的数量变化。

　　四、一元线性回归分析

　　1.一元线性回归分析的特点

　　1)两个变量不是对等关系，必须明确自变量和因变量.

　　2）如果x和y两个变量无明显因果关系，则存在着两个回归方程：一个是以x为自变量，

　　y为因变量建立的回归方程；另一个是以y为自变量，x为因变量建立的回归方程。若绘出图形，则是两条斜率不同的回归直线。

　　3)直线回归方程中,回归系数b可以是正值，也可以是负值。若0b〉,表示直线上升,说明两个变量同方向变动；若0b〈，表示直线下降，说明两个变量是反方向变动。2。建立一元线性回归方程的条件任何一种数学模型的运用都是有前提条件的，配合一元线性回归方程应具备以下两个条件：

　　1)两个变量之间必须存在高度相关的关系。两个变量之间只有存在着高度相关的关系,回归方程才有实际意义.2）两个变量之间确实呈现直线相关关系.两个变量之间只有存在直线相关关系,才能配合直线回归方程。3。建立一元线性回归方程的方法一元线性回归方程是用于分析两个变量（一个因变量和一个自变量）线性关系的数学表达式，一般形式为：yc=a+bx式中：x代表自变量;yc代表因变量y的估计值（又称理论值)；ab为回归方程参数.其中，a是直线在y轴上的截距,它表示当自变量x等于0时，因变量所达到的数值；b是直线的斜率,在回归方程中亦称为回归系数，它表示当自变量x每变动一个单位时，因变量y平均变动的数值。一元线性回归方程应根据最小二乘法原理建立，因为只有用最小二乘法原理建立的回归方程才可以同时满足两个条件：

　　1)因变量的实际值与回归估计值的离差之和为零；2）因变量的实际值与回归估计值的离差平方和为最小值。只有满足这两个条件，建立的直线方程的误差才能最小，其代表性才能最强.现在令要建立的一元线性回归方程的标准形式为yc=a+bx,依据最小二乘法原理，因变量实际值y与估计值yc的离差平方和为最小值,即Q=∑（y-yc)2取得最小值。为使Q=∑（y—yc)2=最小值

　　根据微积分中求极值的原理，需分别对a，b求偏导数,并令其为0，经过整理，可得到如下

　　方程组：∑y=an+b∑x∑xy=a∑x+b∑x2解此方程组，可求得a,b两个参数4。计算估计标准误差回归方程只反映变量x和y之间大致的、平均的变化关系。因此，对每一个给定的x值，回归方程的估计值yc与因变量的实际观察值y之间总会有一定的离差,即估计标准误差.估计标准误差是因变量实际观察值y与估计值yc离差平方和的平均数的平方根，它反映因变量实际值y与回归直线上各相应理论值yc之间离散程度的统计分析指标.估计标准误差:式中：sy-—估计标准误差；y——因变量实际观察值；yc—-因变量估计值；n—2—-自由度如何描述两个变量之间线性相关关系的强弱？利用相关系数r来衡量当r〉0时，表示x与y为正相关；当r〈0时，表示x与y为负相关。

　　5。残差分析与残差图:

　　残差是指观测值与预测值（拟合值）

　　之间的差，即是实际观察值与回归估计值的差

　　在研究两个变量间的关系时，a）要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关;b)判断是否可以用回归模型来拟合数据；c)可以通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作就称为残差分析。6。残差图的制作及作用.坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择;若模型选择的正确,残差图中的点应该分布在以横轴为心的带状区域，带状区域的宽度越窄精度越高。对于远离横轴的点,要特别注意。7.几点注解：

　　第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误.如果数据采集有错误，就应该予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因.

　　另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型计较合适,这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。还可以用判定系数r2来刻画回归的效果，该指标测度了回归直线对观测数据的拟合程度，其计算公式是：

　　其中：SSR—回归平方和；

　　SSE—残差平方和；

　　Sst=ssr+sse总离差平方和。

　　由公式知，R（相关指数)的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。在含有一个解释变量的线性模型中r2恰好等于相关系数r的平方，即R2=r2

　　在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率。R2越接近1,表示回归的效果越好（因为R2越接近1,表示解释变量和预报变量的线性相关性越强）。

　　如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。

　　总的来说：相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力.

　　五、多元线性回归分析

　　在一元线性回归分析中,因变量y只受某一个因素的影响，即只由一个自变量x来估计。但对于复杂的自然界中的问题，影响因素往往很多，在这种情况下,因变量y要用多个自变量同时进行估计。例如,某种产品的总成本不仅受原材料价格的影响，而且也与产品产量、管理水平等因素有关；农作物产量的髙低受品种、气候、施肥量等多个因素的影响.描述因变量与两个或两个以上自变量之间的数量关系的回归分析方法称为多元线性回归分析.它是一元线性回归分析的推广，其分析过程相对复杂一些，但基本原理与一元线性回归分析类似。

　　多元线性回归方程的一般表达式为：

　　为便于分析，当自变量较多时可选用两个主要的自变量x1和x2。其线性回归方程标准式为：

　　其中：yc为二元回归估计值；a为常数项;b1和b2分别为y对x1和x2的回归系数，b1表示当自变量x2为一定时，由于自变量x1变化一个单位而使y平均变动的数值，b2表示当自变量x1为一定时，由于自变量x2变化一个单位而使y平均变动的数值，因此，b1和b2称为偏回归系数.

　　要建立二元回归方程，关键问题是求出参数a,b1和b2的值，求解方法仍用最小二乘法,即分别对a,b1和b2求偏导数,并令函数的一阶导数等于零，可得如下方程组：（二）在回归分析中，通常称自变量为回归因子，一般用表示，而称因变量为指标，一般用表示.预测公式:，称之为回归方程.回归模型，按照各种原则可以分为各种模型:1。当n=1时,称为一元(单因子）回归;当n≥2时,称为多元（多因子)回归.2。当f为线性函数时，称为线性回归;当f为非线性函数时,称为非线性（曲线）回归.最小二乘准则：假设待定的拟合函数为,另据m个数据点，相当于求解以下规划问题：即使得总离差平方和最小。具体在线性拟合的过程中，假设拟合函数为y=a+bx，a与b为待定系数,已知有m个数据点，分别为，应用最小二乘法，就是要使:达到最小值.把S看成自变量为a和b的连续函数,则根据连续函数达到及致电的必要条件，于是得到：因此,当S取得最小值时，有:可得方程组为：称这个方程组为正规方程组,解这个二元一次方程组,得到：如果把已有数据描绘成散点图,而且从散点图中可以看出，各个数据点大致分布在一条直线附近，不妨设他们满足线性方程：其中，x为自变量，y为因变量,a与b为待定系数;ε成为误差项或者扰动项。这里要对数据点做线性回归分析,从而a和b就是待定的回归系数,ε为随机误差.不妨设得到的线性拟合曲线为:这就是要分析的线性回归方程。一般情况下，得到这个方程以后，主要是描绘出回归曲线,并且观测拟合效果和计算一些误差分析指标,例如最大点误差、总方差和标准差等.这里最缺乏的就是一个统一的评价系统，以下说明从概率角度确立的关于线性回归的一套评

　　价系统。

　　其中n为数据点的个数，为原始数据点，r的值能够很好地反映出线性相关程度的高低，一般来说，存在以下一些标准：

　　1.当r→1或者r→−1时,表示y与x高度线性相关，于是由原始数据描绘出的散点图中所有数据点都分布在一条直线的附近，分别称为正相关和负相关;

　　2。当r→0时，表示y与x不相关，由原始数据描绘出的散点图的数据点一般呈无规律的特点四散分布;

　　3。当−1〈r〈0或者0<r〈1时，y与x的相关程度介于1与2之间;

　　4.如果r→1，则y与x线性相关程度越高；反之,如果r→0，则y与x线性相关程度越低。

　　实际计算r值的过程中,长列表计算，即：

　　一般来说，把这个最低限度的值记为临界值,称之为相关性检验标准。因此，如果计算出r的值,并且满足,则符合相关性要求，线性回归方程作用显著。反之，如果

　　，则线性回归方程作用不显著，就尽量不要采用线性回归方程。临界值的数值表如下：

　　其中,自由度可以由原始数据点的个数减去相应的回归方程的变量个数,例如线性回归方程中有两个变量,而数据点的个数为n个，则自由度为n−2。自由度一般记为f，但不要与一般的函数发生混淆。显著性水平一般取为0。01，0。02，0.05等,利用它可以计算y与x之间相关关系的可信程度或者称为置信水平，计算公式为：

　　（这里取显著性水平为α=0。05）

　　(以为中心，长度为）包含实际值的个数占总数的比例达到95％或者以上，则称这些区间的

　　置信水平不少于95％根据以上的分析，可以知道置信区间的概念，如果确定了置信水平为95％，从而可以找到相应的最小的Δt值，使得95％以上的实际值落在区间内，则称为预测值满足置信水平95%的置信区间。一般情况下，如果不做特别说明，置信区间的相应置信水平默认为95％,置信区间反映了回归方程的适用范围和精确度,特别的，当所有离散数据分布在回归曲线的附件，大致呈现为正态分布时，置信区间为：其中S为该回归模型的标准差，计算公式为：或者为:那么，如果回归方程为y=a+bx，则有两条控制直线分别为和，他们代表了置信区间的上限和下限，如下图所示：那么,可以预料实际的数据点几乎全部(至少95％）落在上图两条虚线所夹的区域内.这里对回归方程的应用做一个总结:1.估计、预测指标值。对于因子x的一个给定值x0，代入回归预测方程即可求出相应的指标值，称为指标y0的点估计,相应预测误差为但是，真实指标y0的值一般无法确知,预测精度只能根据回归误差来做估计。在回归预测中，预测的精度可以用均方差和标准差的比值来估计;2。估计指标值范围.估计指标值的范围，就是求给定x0，相应于某个给定的置信水平的置信区间。具体的求法,要应用到t分布；3。控制因子取值。在某些实际问题中，特别当因子值可以人为的控制、调解时，也可以根据所要达到的指标值,反过来推出因子的取值,这就是因子值的控制。

篇八：应用回归分析心得体会

　　一般情况下得到这个方程以后主要是描绘出回归曲线并且观测拟合效果和计算一些误差分析指标例如最大点误差总方差和标准差这里最缺乏的就是一个统一的评价系统以下说明从概率角度确立的关于线性回归的一套评价系统

　　回归分析方法总结全面

　　一、什么是回归分析

　　二、回归分析的种类

　　2.按回归方程的表现形式不同，可分为线性回归分析和非线性回归分析

　　若变量之间是线性相关关系，可通过建立直线方程来反映，这种分析叫线性回归分析。

　　若变量之间是非线性相关关系，可通过建立非线性回归方程来反映，这种分析叫非线性回归分析。

　　回归分析方法总结全面

　　三、回归分析的主要内容

　　四、一元线性回归分析

　　1.一元线性回归分析的特点

　　1)两个变量不是对等关系，必须明确自变量和因变量。

　　2)如果x和y两个变量无明显因果关系，则存在着两个回归方程：一个是以x为自变量，y为因变量建立的回归方程；另一个是以

　　回归分析方法总结全面

　　y为自变量，x为因变量建立的回归方程。若绘出图形，则是两条斜率不同的回归直线。

　　回归分析方法总结全面

　　一元线性回归方程应根据最小二乘法原理建立，因为只有用最小二乘法原理建立的回归方程才可以同时满足两个条件：

　　回归分析方法总结全面

　　式中：sy——估计标准误差；y——因变量实际观察值；yc——因变量估计值；n-2——自由度

　　如何描述两个变量之间线性相关关系的强弱？利用相关系数r来衡量

　　当r>0时，表示x与y为正相关;当r<0时，表示x与y为负相关。

　　回归分析方法总结全面

　　5.残差分析与残差图：

　　残差是指观测值与预

　　测值（拟合值）之间的差，即是实际观察值与回归估计值的差

　　7.几点注解：

　　回归分析方法总结全面

　　如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。

　　总的来说：相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。五、多元线性回归分析

　　多元线性回归方程的一般表达式为：

　　为便于分析，当自变量较多时可选用两个主要的自变量x1和x2。其线性回归方程标准式为：

　　回归分析方法总结全面

　　假设待定的拟合函数为，另据m个数据点，相当于求解以下规划问题：

　　达到最小值。把S看成自变量为a和b的连续函数，则根据连续函数达到及致电的必要条件，于是得到：

　　因此，当S取得最小值时，有：

　　可得方程组为：

　　回归分析方法总结全面

　　称这个方程组为正规方程组，解这个二元一次方程组，得到：

　　这里要对数据点做线性回归分析，从而a和b就是待定的回归系数，ε为随机误差。

　　回归分析方法总结全面

　　这里最缺乏的就是一个统一的评价系统，以下说明从概率角度确立的关于线性回归的一套评价系统。

　　其中n为数据点的个数，为原始数据点，r的值能够很好地反映出线性相关程度的高低，一般来说，存在以下一些标准：

　　1.当r→1或者r→−1时，表示y与x高度线性相关，于是由原始数据描绘出的散点图中所有数据点都分布在一条直线的附近，分别称为正相关和负相关；

　　2.当r→0时，表示y与x不相关，由原始数据描绘出的散点图的数据点一般呈无规律的特点四散分布；

　　3.当−1<r<0或者0<r<1时，y与x的相关程度介于1与2之间；

　　4.如果r→1，则y与x线性相关程度越高；反之，如果r→0，则y与x线性相关程度越低。

　　实际计算r值的过程中，长列表计算，即：

　　回归分析方法总结全面

　　，则线性回归方程作用不显著，就尽量不要采用线性回归方程。临界值的数值表如下：

　　回归分析方法总结全面

　　(这里取显著性水平为α=0.05)

　　(以为中心，长度为)包含实际值的个数占总数的比例达到95%或者以上，则称这些区间的置信水平不少于95%

　　回归分析方法总结全面

　　或者为：

　　那么，如果回归方程为y=a+bx，则有两条控制直线分别为和，他们代表了置信区间的上限和下限，如下图所示：

　　那么，可以预料实际的数据点几乎全部(至少95%)落在上图两条虚线所夹的区域内。

　　回归分析方法总结全面

　　2.估计指标值范围。估计指标值的范围，就是求给定x0，相应于某个给定的置信水平的置信区间。具体的求法，要应用到t分布；

篇九：应用回归分析心得体会

　　如果所有的这些区间为中心长度为包含实际值的个数占总数的比例达到95或者以上则称这些区间的置信水平不少于95根据以上的分析可以知道置信区间的概念如果确定了置信水平为95从而可以找到相应的最小的值使得95以上的实际值落在区间称为预测值满足置信水平95的置信区间

　　当r>0时，表示x与y为正相关;当r<0时，表示x与y为负相关。

　　5.残差分析与残差图：

　　残差是指观测值与预测值（拟合值）

　　之间的差，即是实际观察值与回归估计值的差

　　在以横轴为心的带状区域，带状区域的宽度越窄精度越高。对于远离横轴的点，要特别注意。

　　为便于分析，当自变量较多时可选用两个主要的自变量x1和x2。其线性回归方程标准式为：

　　(二)在回归分析中，通常称自变量为回归因子，一般用

　　表示，而称因变量为指标，

　　一般用

　　表示。预测公式：

　　，称之为回归方程。回归

　　模型，按照各种原则可以分为各种模型：1.当n=1时，称为一元(单因子)回归；当n≥2时，称为多元(多因子)回归。2.当f为线性函数时，称为线性回归；当f为非线性函数时，称为非线性(曲线)回归。最小二乘准则：

　　假设待定的拟合函数为

　　，另据m个数据点，相当于求解以下规划问题：

　　即使得总离差平方和最小。具体在线性拟合的过程中，假设拟合函数为y=a+bx，a与b为待

　　定系数，已知有m个数据点，分别为使：

　　，应用最小二乘法，就是要

　　达到最小值。把S看成自变量为a和b的连续函数，则根据连续函数达到及致电的必要条件，于是得到：

　　因此，当S取得最小值时，有：

　　可得方程组为：称这个方程组为正规方程组，解这个二元一次方程组，得到：

　　如果把已有数据描绘成散点图，而且从散点图中可以看出，各个数据点大致分布在一条直线

　　附近，不妨设他们满足线性方程：

　　其中，x为自变量，y为因变量，a与b为

　　待定系数；ε成为误差项或者扰动项。这里要对数据点做线性回归分析，从而a和b就是待定的回归系数，ε为随机误差。不妨设得到的线性拟合曲线为：

　　这就是要分析的线性回归方程。一般情况下，得到这个方程以后，主要是描绘出

　　回归曲线，并且观测拟合效果和计算一些误差分析指标，例如最大点误差、总方差和标准差等。这里最缺乏的就是一个统一的评价系统，以下说明从概率角度确立的关于线性回归的一套评价系统。在实际的线性回归分析中，除了估计出线性回归系数a和b，还要计算y和x的相关程度，即相关性检验。相关性检验主要通过计算相关系数来分析，相关系数的计算公式为：

　　其中n为数据点的个数，

　　为原始数据点，r的值能够很好地反映出线性相关程度的

　　高低，一般来说，存在以下一些标准：1.当r→1或者r→−1时，表示y与x高度线性相关，于是由原始数据描绘出的散点图中所有数据点都分布在一条直线的附近，分别称为正相关和负相关；2.当r→0时，表示y与x不相关，由原始数据描绘出的散点图的数据点一般呈无规律的特点四散分布；

　　3.当−1<r<0或者0<r<1时，y与x的相关程度介于1与2之间；4.如果r→1，则y与x线性相关程度越高；反之，如果r→0，则y与x线性相关程度越低。实际计算r值的过程中，长列表计算，即：

　　一般来说，把这个最低限度的值记为临界值，称之为相关性检验标准。因此，如果计算

　　出r的值，并且满足

　　，则符合相关性要求，线性回归方程作用显著。反之，如果

　　，则线性回归方程作用不显著，就尽量不要采用线性回归方程。临界值的数值表如下：

　　(这里取显著性水平为α=0.05)现在介绍置信区间的问题，由于实际误差的存在，由线性拟合得到的计算值跟实际值之间必

　　然存在一定的差距，其差值就是计算误差。假设原始数据点为

　　，计算得到的数据点

　　为

　　，再给定附近的一个区间：

　　则实际值yi可能落在这个区间内，

　　也可能落在这个区间外。如果所有的这些区间

　　(以为中心，长度为)包含实际值的个数占总数的比例达到95%或者以上，则称这些区

　　间的置信水平不少于95%根据以上的分析，可以知道置信区间的概念，如果确定了置信水平为95%，从而可以找到相

　　应的最小的Δt值，使得95%以上的实际值落在区间

　　内，则

　　称为预测值满足置信水平95%的置信区间。一般情况下，如果不做特别说明，置信区间的相应置信水平默认为95%，置信区间反映了回归方程的适用范围和精确度，特别的，当所有

　　离散数据分布在回归曲线的附件，大致呈现为正态分布时，置信区间为：

　　其

　　中S为该回归模型的标准差，计算公式为：

　　或者为：

　　那么，如果回归方程为y=a+bx，则有两条控制直线分别为

　　和

　　，他们代表了置信区间的上限和下限，如下图所示：

　　那么，可以预料实际的数据点几乎全部(至少95%)落在上图两条虚线所夹的区域内。这里对回归方程的应用做一个总结：1.估计、预测指标值。对于因子x的一个给定值x0，代入回归预测方程即可求出相应的

　　指标值

　　，称为指标y0的点估计，相应预测误差为

　　但是，真实指标

　　y0的值一般无法确知，预测精度只能根据回归误差来做估计。在回归预测中，预测的精度可以用均方差和标准差的比值来估计；2.估计指标值范围。估计指标值的范围，就是求给定x0，相应于某个给定的置信水平的置信区间。具体的求法，要应用到t分布；3.控制因子取值。在某些实际问题中，特别当因子值可以人为的控制、调解时，也可以根据所要达到的指标值，反过来推出因子的取值，这就是因子值的控制。

篇十：应用回归分析心得体会

　　一、什么是回归分析

　　回归分析(RegressionAnalysis)是研究变量之间作用关系的一种统计分析方法，其根本组成是一个〔或一组〕自变量与一个〔或一组〕因变量。回归分析研究的目的是通过收集到的样本数据用一定的统计方法探讨自变量对因变量的影响关系，即原因对结果的影响程度。

　　回归分析是指对具有高度相关关系的现象，根据其相关的形态，建立一个适当的数学模型(函数式)，来近似地反映变量之间关系的统计分析方法。利用这种方法建立的数学模型称为回归方程，它实际上是相关现象之间不确定、不规那么的数量关系的一般化。

　　二、回归分析的种类

　　2.按回归方程的表现形式不同，可分为线性回归分析和非线性回归分析

　　假设变量之间是线性相关关系，可通过建立直线方程来反映，这种分析叫线性回归分析。

　　假设变量之间是非线性相关关系，可通过建立非线性回归方程来反映，这种分析叫非线性回归分析。

　　三、回归分析的主要内容

　　2.依据回归方程进展回归预测。由于回归方程反映了变量之间的一般性关系，因此当自变量发生变化时，可依据回归方程估计出因变量可能发生相应变化的数值。因变量的回归估计值，虽然不是一个必然的对应值(他可能和系统真值存在比拟大的差距)，但至少可以从一般性角度或平均意义角度反映因变量可能发生的数量变化。

　　3.计算估计标准误差。通过估计标准误差这一指标，可以分析回归估计值与实际值之间的差异程度以及估计值的准确性和代表性，还可利用估计标准误差对因变量估计值进展在一定把握程度条件下的区间估计。

　　四、一元线性回归分析

　　1.一元线性回归分析的特点

　　1)两个变量不是对等关系，必须明确自变量和因变量。

　　2)如果x和y两个变量无明显因果关系，那么存在着两个回归方程：一个是以x为自变量，y为因变量建立的回归方程；另一个是以y为自变量，x为因变量建立的回归方程。假设绘

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　　出图形，那么是两条斜率不同的回归直线。3)直线回归方程中，回归系数b可以是正值，也可以是负值。假设0b>，表示直线上升，说明两个变量同方向变动；假设0b<，表示直线下降，说明两个变量是反方向变动。

　　任何一种数学模型的运用都是有前提条件的，配合一元线性回归方程应具备以下两个条件：1)两个变量之间必须存在高度相关的关系。两个变量之间只有存在着高度相关的关系，回归方程才有实际意义。2)两个变量之间确实呈现直线相关关系。两个变量之间只有存在直线相关关系，才能配合直线回归方程。

　　一元线性回归方程是用于分析两个变量〔一个因变量和一个自变量〕线性关系的数学表达式，一般形式为：yc=a+bx式中：x代表自变量；yc代表因变量y的估计值(又称理论值)；ab为回归方程参数。其中，a是直线在y轴上的截距，它表示当自变量x等于0时，因变量所到达的数值；b是直线的斜率,在回归方程中亦称为回归系数,它表示当自变量x每变动一个单位时，因变量y平均变动的数值。一元线性回归方程应根据最小二乘法原理建立，因为只有用最小二乘法原理建立的回归方程才可以同时满足两个条件：1)因变量的实际值与回归估计值的离差之和为零；2)因变量的实际值与回归估计值的离差平方和为最小值。只有满足这两个条件，建立的直线方程的误差才能最小，其代表性才能最强。现在令要建立的一元线性回归方程的标准形式为yc=a+bx,依据最小二乘法原理，因变量实际值y与估计值yc的离差平方和为最小值,即Q=∑(y-yc)2取得最小值。为使Q=∑(y-yc)2=最小值根据微积分中求极值的原理，需分别对a,b求偏导数，并令其为0，经过整理，可得到如下方程组：∑y=an+b∑x

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　　∑xy=a∑x+b∑x2解此方程组，可求得a,b两个参数

　　当r>0时，表示x与y为正相关;当r<0时，表示x与y为负相关。

　　5.残差分析与残差图：

　　残差是指观测值与预测值〔拟合值〕

　　之间的差，即是实际观察值与回归估计值的差

　　在研究两个变量间的关系时，a)要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关；b)判断是否可以用回归模型来拟合数据；c)可以通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作就称为残差分析。

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　　6.残差图的制作及作用。坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；假设模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带状区域，带状区域的宽度越窄精度越高。对于远离横轴的点，要特别注意。

　　7.几点注解：第一个样本点和第6个样本点的残差比拟大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就应该予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，那么需要寻找其他的原因。另外，残差点比拟均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较适宜，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。还可以用判定系数r2来刻画回归的效果，该指标测度了回归直线对观测数据的拟合程度，其计算公式是：

　　其中：SSR-回归平方和；SSE-残差平方和；Sst=ssr+sse总离差平方和。由公式知，R〔相关指数〕的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。在含有一个解释变量的线性模型中r2恰好等于相关系数r的平方，即R2=r2在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量变化的奉献率。R2越接近1，表示回归的效果越好〔因为R2越接近1，表示解释变量和预报变量的线性相关性越强〕。

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　　如果某组数据可能采取几种不同回归方程进展回归分析，那么可以通过比拟R2的值来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。总的来说：相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。五、多元线性回归分析在一元线性回归分析中，因变量y只受某一个因素的影响，即只由一个自变量x来估计。但对于复杂的自然界中的问题，影响因素往往很多，在这种情况下，因变量y要用多个自变量同时进展估计。例如，某种产品的总本钱不仅受原材料价格的影响，而且也与产品产量、管理水平等因素有关；农作物产量的髙低受品种、气候、施肥量等多个因素的影响。描述因变量与两个或两个以上自变量之间的数量关系的回归分析方法称为多元线性回归分析。它是一元线性回归分析的推广，其分析过程相对复杂一些，但根本原理与一元线性回归分析类似。多元线性回归方程的一般表达式为：

　　为便于分析，当自变量较多时可选用两个主要的自变量x1和x2。其线性回归方程标准式为：

　　(二)

　　在回归分析中，通常称自变量为回归因子，一般用

　　一般用

　　表示。预测公式：

　　表示，而称因变量为指标，，称之为回归方程。回归

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　　模型，按照各种原那么可以分为各种模型：1.当n=1时，称为一元(单因子)回归；当n≥2时，称为多元(多因子)回归。2.当f为线性函数时，称为线性回归；当f为非线性函数时，称为非线性(曲线)回归。最小二乘准那么：

　　假设待定的拟合函数为

　　，另据m个数据点，相当于求解以下规划问题：

　　即使得总离差平方和最小。具体在线性拟合的过程中，假设拟合函数为y=a+bx，a与b为待

　　定系数，有m个数据点，分别为

　　，应用最小二乘法，就是要使：

　　到达最小值。把S看成自变量为a和b的连续函数，那么根据连续函数到达及致电的必要条件，于是得到：

　　因此，当S取得最小值时，有：

　　可得方程组为：

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　　称这个方程组为正规方程组，解这个二元一次方程组，得到：

　　如果把已有数据描绘成散点图，而且从散点图中可以看出，各个数据点大致分布在一条直线

　　附近，不妨设他们满足线性方程：待定系数；ε成为误差项或者扰动项。

　　其中，x为自变量，y为因变量，a与b为

　　这里要对数据点做线性回归分析，从而a和b就是待定的回归系数，ε为随机误差。

　　不妨设得到的线性拟合曲线为：

　　这就是要分析的线性回归方程。一般情况下，得到这个方程以后，主要是描绘出

　　回归曲线，并且观测拟合效果和计算一些误差分析指标，例如最大点误差、总方差和标准差等。

　　这里最缺乏的就是一个统一的评价系统，以下说明从概率角度确立的关于线性回归的一套评价系统。

　　其中n为数据点的个数，

　　为原始数据点，r的值能够很好地反映出线性相关程度的

　　上下，一般来说，存在以下一些标准：

　　1.当r→1或者r→−1时，表示y与x高度线性相关，于是由原始数据描绘出的散点

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　　图中所有数据点都分布在一条直线的附近，分别称为正相关和负相关；

　　2.当r→0时，表示y与x不相关，由原始数据描绘出的散点图的数据点一般呈无规律的特点四散分布；

　　3.当−1<r<0或者0<r<1时，y与x的相关程度介于1与2之间；4.如果r→1，那么y与x线性相关程度越高；反之，如果r→0，那么y与x线性相关程度越低。

　　实际计算r值的过程中，长列表计算，即：

　　一般来说，把这个最低限度的值记为临界值，称之为相关性检验标准。因此，如果计算

　　出r的值，并且满足

　　，那么符合相关性要求，线性回归方程作用显著。反之，如果

　　，那么线性回归方程作用不显著，就尽量不要采用线性回归方程。临界值的数值表如下：

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　　其中，自由度可以由原始数据点的个数减去相应的回归方程的变量个数，例如线性回归方程中有两个变量，而数据点的个数为n个，那么自由度为n−2.自由度一般记为f，但不要与一般的函数发生混淆。显著性水平一般取为0.01,0.02,0.05等，利用它可以计算y与x之间相关关系的可信程度或者称为置信水平，计算公式为：

　　(这里取显著性水平为α=)

　　现在介绍置信区间的问题，由于实际误差的存在，由线性拟合得到的计算值跟实际值之间必

　　然存在一定的差距，其差值就是计算误差。假设原始数据点为

　　，计算得到的数据点

　　为

　　，再给定附近的一个区间：

　　内，也可能落在这个区间外。如果所有的这些区间

　　那么实际值yi可能落在这个区间

　　(以为中心，长度为)包含实际值的个数占总数的比例到达95%或者以上，那么称这些区间的置信水平不少于95%

　　根据以上的分析，可以知道置信区间的概念，如果确定了置信水平为95%，从而可以找到相

　　应的最小的Δt值，使得95%以上的实际值落在区间

　　内，那么

　　称为预测值满足置信水平95%的置信区间。一般情况下，如果不做特别说明，置信区间的相应置信水平默认为95%，置信区间反映了回归方程的适用范围和准确度，特别的，当所有离散数据分布在回归曲线的附件，大致呈现为正态分布时，置信区间为：

　　其中S为该回归模型的标准差，计算公式为：

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　　或者为：

　　那么，如果回归方程为y=a+bx，那么有两条控制直线分别为

　　和

　　，他们代表了置信区间的上限和下限，如下列图所示：

　　那么，可以预料实际的数据点几乎全部(至少95%)落在上图两条虚线所夹的区域内。

　　这里对回归方程的应用做一个总结：

　　1.估计、预测指标值。对于因子x的一个给定值x0，代入回归预测方程即可求出相应的

　　指标值

　　，称为指标y0的点估计，相应预测误差为

　　但是，真实指标

　　y0的值一般无法确知，预测精度只能根据回归误差来做估计。在回归预测中，预测的精度

　　可以用均方差和标准差的比值来估计；

　　2.估计指标值范围。估计指标值的范围，就是求给定x0，相应于某个给定的置信水平的置信区间。具体的求法，要应用到t分布；

　　3.控制因子取值。在某些实际问题中，特别当因子值可以人为的控制、调解时，也可以根据所要到达的指标值，反过来推出因子的取值，这就是因子值的控制。

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篇十一：应用回归分析心得体会

P>　　回归分析方法总结全面

　　一、什么是回归分析

　　二、回归分析的种类

　　2.按回归方程的表现形式不同，可分为线性回归

　　分析和非线性回归分析

　　若变量之间是线性相关关系，可通过建立直线方程来反映，这种分析叫线性回归分析。

　　若变量之间是非线性相关关系，可通过建立非线性回归方程来反映，这种分析叫非线性回归分析。

　　三、回归分析的主要内容

　　3.计算估计标准误差。通过估计标准误差这一指标，可以分析回归估计值与实际值之间的差异程

　　1)两个变量之间必须存在高度相关的关系。

　　两个变量之间只有存在着高度相关的关系，回归方程才有实际意义。

　　2)两个变量之间确实呈现直线相关关系。

　　两个变量之间只有存在直线相关关系，才能配合直线回归方程。

　　3.建立一元线性回归方程的方法

　　一元线性回归方程是用于分析两个变量（一个因变量和一个自变量）线性关系的数学表达式，一般形式为：yc=a+bx

　　式中：x代表自变量；

　　yc代表因变量y的估计值(又称理论值)；

　　一元线性回归方程应根据最小二乘法原理建立，

　　因为只有用最小二乘法原理建立的回归方程才可以同时满足两个条件：1)因变量的实际值与回归估计值的离差之和为零；2)因变量的实际值与回归估计值的离差平方和为最小值。只有满足这两个条件，建立的直线方程的误差才能最小，其代表性才能最强。现在令要建立的一元线性回归方程的标准形式为yc=a+bx,依据最小二乘法原理，因变量实际值y与估计值yc的离差平方和为最小值,即Q=∑(y-yc)2取得最小值。为使Q=∑(y-yc)2=最小值根据微积分中求极值的原理，需分别对a,b求偏导数，并令其为0，经过整理，可得到如下方程组：∑y=an+b∑x∑xy=a∑x+b∑x2解此方程组，可求得a,b两个参数

　　当r>0时，表示x与y为正相关;当r<0时，表示x与y为负相关。

　　5.残差分析与残差图：

　　残差是指

　　观测值与预测值（拟合值）之间的差，即是实际观察值与回归估计值

　　的差

　　在研究两个变量间的关系时，

　　a)要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关；

　　b)判断是否可以用回归模型来拟合数据；

　　c)可以通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作就称为残差分析。

　　6.残差图的制作及作用。

　　坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带状区域，带状区域的宽度越窄精度越高。对于远离横轴的点，要特别注意。

　　其中：SSR-回归平方和；

　　SSE-残差平方和；

　　Sst=ssr+sse总离差平方和。

　　由公式知，R（相关指数）的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。在含有一个解释变量的线性模型中r2恰好等于相关系数r的平方，即R2=r2在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率。R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解释变量和预报变量的线性相关性越强）。

　　如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。总的来说：相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。

　　五、多元线性回归分析

　　在一元线性回归分析中，因变量y只受某一个因

　　素的影响，即只由一个自变量x来估计。但对于复杂的自然界中的问题，影响因素往往很多，在这种情况下，因变量y要用多个自变量同时进行估计。例如，某种产品的总成本不仅受原材料价格的影响，而且也与产品产量、管理水平等因素有关；农作物产量的髙低受品种、气候、施肥量等多个因素的影响。描述因变量与两个或两个以上自变量之间的数量关系的回归分析方法称为多元线性回归分析。它是一元线性回归分析的推广，其分析过程相对复杂一些，但基本原理与一元线性回归分析类似。多元线性回归方程的一般表达式为：

　　为便于分析，当自变量较多时可选用两个主要的自变量x1和x2。其线性回归方程标准式为：

　　其中：yc为二元回归估计值；a为常数项；b1和b2分别为y对x1和x2的回归系数，b1表示当自变量x2为一定时，由于自变量x1变化一个单位而使y平均变动的数值，b2表示当自变量x1为一定

　　时，由于自变量x2变化一个单位而使y平均变动的数值，因此，b1和b2称为偏回归系数。

　　(二)

　　在回归分析中，通常称自变量为回归因子，一般

　　用

　　表示，而称因变量为指标，一般用

　　表示。预测公式：

　　，称之为回

　　归方程。回归

　　模型，按照各种原则可以分为各种模型：

　　1.当n=1时，称为一元(单因子)回归；当n≥2时，称为多元(多因子)回归。

　　2.当f为线性函数时，称为线性回归；当f为非线性函数时，称为非线性(曲线)回归。

　　最小二乘准则：

　　假设待定的拟合函数为，另据m个数据点，相当于求解以下规划问题：

　　即使得总离差平方和最小。具体在线性拟合的过

　　程中，假设拟合函数为y=a+bx，a与b为待定系

　　数，已知有m个数据点，分别为

　　，

　　应用最小二乘法，就是要使：

　　达到最小值。把S看成自变量为a和b的连续函数，则根据连续函数达到及致电的必要条件，于是得到：

　　因此，当S取得最小值时，有：

　　可得方程组为：

　　称这个方程组为正规方程组，解这个二元一次方程组，得到：

　　如果把已有数据描绘成散点图，而且从散点图中

　　可以看出，各个数据点大致分布在一条直线附

　　近，不妨设他们满足线性方程：

　　其中，x

　　为自变量，y为因变量，a与b为待定系数；ε

　　成为误差项或者扰动项。

　　这里要对数据点做线性回归分析，从而a和b就是待定的回归系数，ε为随机误差。

　　不妨设得到的线性拟合曲线为：

　　这就是要分析的线性回归方程。一般情况下，得到这个方程以后，主要是描绘出

　　特点四散分布；3.当−1<r<0或者0<r<1时，y与x的相关程度介于1与2之间；4.如果r→1，则y与x线性相关程度越高；反之，如果r→0，则y与x线性相关程度越低。实际计算r值的过程中，长列表计算，即：

　　在实际问题中，一般要保证回归方程有最低程度的线性相关。因为许多实际问题中，两个变量之间并非线性的相关关系，或者说线性相关程度不高，此时硬给他建立线性回归方程，显然没有太大意义，也没有什么实用价值。一般来说，把这个最低限度的值记为临界值，称之为相关性检验标准。因此，如果计算出r的

　　值，并且满足，则符合相关性要求，线性回归方程作用显著。反之，如果，则线性回归方程作用不显著，就尽量不要采用线性回归方程。临界值的数值表如下：

　　(这里取显著性水平为α=0.05)现在介绍置信区间的问题，由于实际误差的存在，由线性拟合得到的计算值跟实际值之间必然

　　存在一定的差距，其差值就是计算误差。假设原

　　始数据点为，计算得到的数据点为，再

　　给定附近的一个区间：

　　则实际值yi

　　可能落在这个区间内，也可能落在这个区间外。

　　如果所有的这些区间

　　(以为中心，长度为)包含实际值的个数占总数的比例达到95%或者以上，则称这些区间的置信水平不少于95%

　　根据以上的分析，可以知道置信区间的概念，如

　　果确定了置信水平为95%，从而可以找到相应的

　　最小的Δt值，使得95%以上的实际值落在区间

　　内，则

　　称为预测值满足置信

　　水平95%的置信区间。一般情况下，如果不做特

　　别说明，置信区间的相应置信水平默认为95%，

　　置信区间反映了回归方程的适用范围和精确度，

　　特别的，当所有离散数据分布在回归曲线的附

　　件，大致呈现为正态分布时，置信区间为：

　　其中S为该回归模型的标准差，计算公

　　式为：

　　或者为：

　　那么，如果回归方程为y=a+bx，则有两条控制

　　直线分别为

　　和

　　，他们代表了置

　　信区间的上限和下限，如下图所示：

　　那么，可以预料实际的数据点几乎全部(至少95%)落在上图两条虚线所夹的区域内。

　　这里对回归方程的应用做一个总结：

　　1.估计、预测指标值。对于因子x的一个给定

　　值x0，代入回归预测方程即可求出相应的指标

　　值

　　，称为指标y0的点估计，相应预测误

　　差为

　　但是，真实指标y0的值一般无法确

　　知，预测精度只能根据回归误差来做估计。在回

　　归预测中，预测的精度可以用均方差和标准差的

　　比值来估计；2.估计指标值范围。估计指标值的范围，就是求给定x0，相应于某个给定的置信水平的置信区间。具体的求法，要应用到t分布；3.控制因子取值。在某些实际问题中，特别当因子值可以人为的控制、调解时，也可以根据所要达到的指标值，反过来推出因子的取值，这就是因子值的控制。

篇十二：应用回归分析心得体会

P>　　一、什么是回归分析

　　二、回归分析的种类

　　2.按回归方程的表现形式不同，可分为线性回归分析和非线性回归分析

　　若变量之间是线性相关关系，可通过建立直线方程来反映，这种分析叫线性回归分析。

　　若变量之间是非线性相关关系，可通过建立非线性回归方程来反映，这种分析叫非线性回归分析。

　　三、回归分析的主要内容

　　四、一元线性回归分析

　　1.一元线性回归分析的特点

　　1)两个变量不是对等关系，必须明确自变量和因变量。

　　∑xy=a∑x+b∑x2解此方程组，可求得a,b两个参数

　　当r>0时，表示x与y为正相关;当r<0时，表示x与y为负相关。

　　5.残差分析与残差图：

　　残差是指观测值与预测值（拟合值）

　　之间的差，即是实际观察值与回归估计值的差

　　6.残差图的制作及作用。坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带状区域，带状区域的宽度越窄精度越高。对于远离横轴的点，要特别注意。

　　择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。总的来说：相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。五、多元线性回归分析在一元线性回归分析中，因变量y只受某一个因素的影响，即只由一个自变量x来估计。但对于复杂的自然界中的问题，影响因素往往很多，在这种情况下，因变量y要用多个自变量同时进行估计。例如，某种产品的总成本不仅受原材料价格的影响，而且也与产品产量、管理水平等因素有关；农作物产量的髙低受品种、气候、施肥量等多个因素的影响。描述因变量与两个或两个以上自变量之间的数量关系的回归分析方法称为多元线性回归分析。它是一元线性回归分析的推广，其分析过程相对复杂一些，但基本原理与一元线性回归分析类似。多元线性回归方程的一般表达式为：

　　为便于分析，当自变量较多时可选用两个主要的自变量x1和x2。其线性回归方程标准式为：

　　(二)

　　在回归分析中，通常称自变量为回归因子，一般用

　　一般用

　　表示。预测公式：

　　模型，按照各种原则可以分为各种模型：

　　表示，而称因变量为指标，，称之为回归方程。回归

　　1.当n=1时，称为一元(单因子)回归；当n≥2时，称为多元(多因子)回归。2.当f为线性函数时，称为线性回归；当f为非线性函数时，称为非线性(曲线)回归。最小二乘准则：

　　假设待定的拟合函数为

　　，另据m个数据点，相当于求解以下规划问题：

　　即使得总离差平方和最小。具体在线性拟合的过程中，假设拟合函数为y=a+bx，a与b为待

　　定系数，已知有m个数据点，分别为使：

　　，应用最小二乘法，就是要

　　达到最小值。把S看成自变量为a和b的连续函数，则根据连续函数达到及致电的必要条件，于是得到：

　　因此，当S取得最小值时，有：

　　可得方程组为：

　　称这个方程组为正规方程组，解这个二元一次方程组，得到：

　　如果把已有数据描绘成散点图，而且从散点图中可以看出，各个数据点大致分布在一条直线

　　附近，不妨设他们满足线性方程：待定系数；ε成为误差项或者扰动项。

　　其中，x为自变量，y为因变量，a与b为

　　这里要对数据点做线性回归分析，从而a和b就是待定的回归系数，ε为随机误差。

　　不妨设得到的线性拟合曲线为：

　　这就是要分析的线性回归方程。一般情况下，得到这个方程以后，主要是描绘出

　　回归曲线，并且观测拟合效果和计算一些误差分析指标，例如最大点误差、总方差和标准差等。

　　这里最缺乏的就是一个统一的评价系统，以下说明从概率角度确立的关于线性回归的一套评价系统。

　　其中n为数据点的个数，

　　为原始数据点，r的值能够很好地反映出线性相关程度的

　　高低，一般来说，存在以下一些标准：

　　1.当r→1或者r→?1时，表示y与x高度线性相关，于是由原始数据描绘出的散点图中所有数据点都分布在一条直线的附近，分别称为正相关和负相关；

　　2.当r→0时，表示y与x不相关，由原始数据描绘出的散点图的数据点一般呈无规律的特点四散分布；

　　3.当?1<r<0或者0<r<1时，y与x的相关程度介于1与2之间；4.如果r→1，则y与x线性相关程度越高；反之，如果r→0，则y与x线性相关程度越低。实际计算r值的过程中，长列表计算，即：

　　一般来说，把这个最低限度的值记为临界值，称之为相关性检验标准。因此，如果计算

　　出r的值，并且满足

　　，则符合相关性要求，线性回归方程作用显着。反之，如果

　　，则线性回归方程作用不显着，就尽量不要采用线性回归方程。临界值的数值表如下：

　　其中，自由度可以由原始数据点的个数减去相应的回归方程的变量个数，例如线性回归方程中有两个变量，而数据点的个数为n个，则自由度为n?2.自由度一般记为f，但不要与一般的函数发生混淆。显着性水平一般取为,,等，利用它可以计算y与x之间相关关系的

　　可信程度或者称为置信水平，计算公式为：

　　(这里取显着性水平为α=)

　　现在介绍置信区间的问题，由于实际误差的存在，由线性拟合得到的计算值跟实际值之间必

　　然存在一定的差距，其差值就是计算误差。假设原始数据点为

　　，计算得到的数据点

　　为

　　，再给定附近的一个区间：

　　也可能落在这个区间外。如果所有的这些区间

　　则实际值yi可能落在这个区间内，

　　(以为中心，长度为)包含实际值的个数占总数的比例达到95%或者以上，则称这些区间的置信水平不少于95%

　　根据以上的分析，可以知道置信区间的概念，如果确定了置信水平为95%，从而可以找到相

　　应的最小的Δt值，使得95%以上的实际值落在区间

　　内，则

　　离散数据分布在回归曲线的附件，大致呈现为正态分布时，置信区间为：

　　其

　　中S为该回归模型的标准差，计算公式为：

　　或者为：

　　那么，如果回归方程为y=a+bx，则有两条控制直线分别为

　　和

　　，他们代表了置信区间的上限和下限，如下图所示：

　　那么，可以预料实际的数据点几乎全部(至少95%)落在上图两条虚线所夹的区域内。

　　这里对回归方程的应用做一个总结：

　　1.估计、预测指标值。对于因子x的一个给定值x0，代入回归预测方程即可求出相应的

　　指标值

　　，称为指标y0的点估计，相应预测误差为

　　但是，真实指标

　　y0的值一般无法确知，预测精度只能根据回归误差来做估计。在回归预测中，预测的精度

　　可以用均方差和标准差的比值来估计；

　　2.估计指标值范围。估计指标值的范围，就是求给定x0，相应于某个给定的置信水平的置信区间。具体的求法，要应用到t分布；

篇十三：应用回归分析心得体会

P>　　一、什么是回归分析

　　回归分析(RegressionAnalysis）是研究变量之间作用关系的一种统计分析方法，其基本组成是一个(或一组)自变量与一个（或一组）因变量。回归分析研究的目的是通过收集到的样本数据用一定的统计方法探讨自变量对因变量的影响关系，即原因对结果的影响程度。

　　二、回归分析的种类

　　1。按涉及自变量的多少,可分为一元回归分析和多元回归分析一元回归分析是对一个因变量和一个自变量建立回归方程。多元回归分析是对一个因变量和两个或两个以上的自变量建立回归方程。

　　2.按回归方程的表现形式不同，可分为线性回归分析和非线性回归分析

　　若变量之间是线性相关关系,可通过建立直线方程来反映，这种分析叫线性回归分析。

　　若变量之间是非线性相关关系，可通过建立非线性回归方程来反映，这种分析叫非线性回归分析。

　　三、回归分析的主要内容

　　1.建立相关关系的数学表达式.依据现象之间的相关形态，建立适当的数学模型，通过数学模型来反映现象之间的相关关系，从数量上近似地反映变量之间变动的一般规律。

　　2。依据回归方程进行回归预测.由于回归方程反映了变量之间的一般性关系，因此当自变量发生变化时,可依据回归方程估计出因变量可能发生相应变化的数值。因变量的回归估计值，虽然不是一个必然的对应值（他可能和系统真值存在比较大的差距)，但至少可以从一般性角度或平均意义角度反映因变量可能发生的数量变化.

　　3。计算估计标准误差。通过估计标准误差这一指标，可以分析回归估计值与实际值之间的差异程度以及估计值的准确性和代表性，还可利用估计标准误差对因变量估计值进行在一定把握程度条件下的区间估计。

　　四、一元线性回归分析

　　1.一元线性回归分析的特点

　　1)两个变量不是对等关系，必须明确自变量和因变量。

　　2)如果x和y两个变量无明显因果关系，则存在着两个回归方程：一个是以x为自变量，y

　　为因变量建立的回归方程；另一个是以y为自变量,x为因变量建立的回归方程。若绘出图形，则是两条斜率不同的回归直线。

　　3）直线回归方程中，回归系数b可以是正值，也可以是负值。若0b>，表示直线上升，说明两个变量同方向变动;若0b<，表示直线下降，说明两个变量是反方向变动.2.建立一元线性回归方程的条件任何一种数学模型的运用都是有前提条件的，配合一元线性回归方程应具备以下两个条件：

　　1）两个变量之间必须存在高度相关的关系。两个变量之间只有存在着高度相关的关系,回归方程才有实际意义.2)两个变量之间确实呈现直线相关关系。两个变量之间只有存在直线相关关系，才能配合直线回归方程。

　　3.建立一元线性回归方程的方法一元线性回归方程是用于分析两个变量（一个因变量和一个自变量）线性关系的数学表达式，一般形式为：yc=a+bx式中:x代表自变量；yc代表因变量y的估计值（又称理论值）；ab为回归方程参数。其中,a是直线在y轴上的截距,它表示当自变量x等于0时,因变量所达到的数值；b是直线的斜率,在回归方程中亦称为回归系数,它表示当自变量x每变动一个单位时,因变量y平均变动的数值。一元线性回归方程应根据最小二乘法原理建立，因为只有用最小二乘法原理建立的回归方程才可以同时满足两个条件:1)因变量的实际值与回归估计值的离差之和为零；2）因变量的实际值与回归估计值的离差平方和为最小值。只有满足这两个条件，建立的直线方程的误差才能最小，其代表性才能最强。

　　现在令要建立的一元线性回归方程的标准形式为yc=a+bx，依据最小二乘法原理，因变量实际值y与估计值yc的离差平方和为最小值，即Q=∑（y—yc)2取得最小值.为使Q=∑（y—yc）2=最小值根据微积分中求极值的原理，需分别对a,b求偏导数,并令其为0，经过整理，可得到如下方

　　程组：∑y=an+b∑x∑xy=a∑x+b∑x2解此方程组，可求得a，b两个参数

　　4。计算估计标准误差回归方程只反映变量x和y之间大致的、平均的变化关系.因此，对每一个给定的x值，回归方程的估计值yc与因变量的实际观察值y之间总会有一定的离差，即估计标准误差。估计标准误差是因变量实际观察值y与估计值yc离差平方和的平均数的平方根,它反映因变量实际值y与回归直线上各相应理论值yc之间离散程度的统计分析指标。估计标准误差:

　　式中:sy-—估计标准误差;y——因变量实际观察值；yc——因变量估计值;n—2-—自由度如何描述两个变量之间线性相关关系的强弱？利用相关系数r来衡量

　　当r>0时，表示x与y为正相关;当r〈0时，表示x与y为负相关。

　　5。残差分析与残差图：

　　残差是指观测值与预测值（拟合值）

　　之间的差,即是实际观察值与回归估计值的差

　　在研究两个变量间的关系时，a)要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关；

　　b）判断是否可以用回归模型来拟合数据;c)可以通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作就称为残差分析。6。残差图的制作及作用。坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择;若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带状区域，带状区域的宽度越窄精度越高。对于远离横轴的点，要特别注意.

　　7。几点注解：第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就应该予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因.另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄,说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。还可以用判定系数r2来刻画回归的效果，该指标测度了回归直线对观测数据的拟合程度，其计算公式是：

　　其中：SSR—回归平方和;SSE—残差平方和；Sst=ssr+sse总离差平方和。由公式知，R（相关指数）的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好.

　　在含有一个解释变量的线性模型中r2恰好等于相关系数r的平方，即R2=r2在线性回归模型中,R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率。R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解释变量和预报变量的线性相关性越强）。如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。总的来说:相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。五、多元线性回归分析在一元线性回归分析中，因变量y只受某一个因素的影响,即只由一个自变量x来估计。但对于复杂的自然界中的问题，影响因素往往很多，在这种情况下，因变量y要用多个自变量同时进行估计。例如,某种产品的总成本不仅受原材料价格的影响，而且也与产品产量、管理水平等因素有关;农作物产量的髙低受品种、气候、施肥量等多个因素的影响.描述因变量与两个或两个以上自变量之间的数量关系的回归分析方法称为多元线性回归分析。它是一元线性回归分析的推广，其分析过程相对复杂一些，但基本原理与一元线性回归分析类似。多元线性回归方程的一般表达式为：

　　为便于分析，当自变量较多时可选用两个主要的自变量x1和x2.其线性回归方程标准式为：

　　其中:yc为二元回归估计值；a为常数项;b1和b2分别为y对x1和x2的回归系数，b1表示当自变量x2为一定时，由于自变量x1变化一个单位而使y平均变动的数值,b2表示当自变量x1为一定时，由于自变量x2变化一个单位而使y平均变动的数值，因此，b1和b2称为偏回归系数。要建立二元回归方程，关键问题是求出参数a,b1和b2的值,求解方法仍用最小二乘法，即分别对a，b1和b2求偏导数,并令函数的一阶导数等于零，可得如下方程组：

　　（二）

　　在回归分析中，通常称自变量为回归因子，一般用

　　表示，而称因变量为指标，

　　一般用

　　表示。预测公式：

　　，称之为回归方程.回归

　　模型,按照各种原则可以分为各种模型：1.当n=1时,称为一元（单因子）回归；当n≥2时,称为多元（多因子)回归。2。当f为线性函数时，称为线性回归；当f为非线性函数时，称为非线性（曲线)回归。最小二乘准则：

　　假设待定的拟合函数为

　　，另据m个数据点，相当于求解以下规划问题：

　　即使得总离差平方和最小。具体在线性拟合的过程中,假设拟合函数为y=a+bx，a与b为待

　　定系数，已知有m个数据点,分别为

　　，应用最小二乘法，就是要使：

　　达到最小值。把S看成自变量为a和b的连续函数，则根据连续函数达到及致电的必要条件，于是得到:

　　因此,当S取得最小值时，有：

　　可得方程组为：称这个方程组为正规方程组,解这个二元一次方程组，得到：

　　如果把已有数据描绘成散点图,而且从散点图中可以看出，各个数据点大致分布在一条直线

　　附近，不妨设他们满足线性方程：待定系数；ε成为误差项或者扰动项。

　　其中，x为自变量，y为因变量，a与b为

　　这里要对数据点做线性回归分析，从而a和b就是待定的回归系数,ε为随机误差.

　　不妨设得到的线性拟合曲线为:

　　这就是要分析的线性回归方程。一般情况下,得到这个方程以后,主要是描绘出

　　回归曲线，并且观测拟合效果和计算一些误差分析指标，例如最大点误差、总方差和标准差等。

　　这里最缺乏的就是一个统一的评价系统,以下说明从概率角度确立的关于线性回归的一套评价系统。

　　在实际的线性回归分析中，除了估计出线性回归系数a和b，还要计算y和x的相关程度,即相关性检验。相关性检验主要通过计算相关系数来分析,相关系数的计算公式为：

　　其中n为数据点的个数，

　　为原始数据点，r的值能够很好地反映出线性相关程度的

　　高低，一般来说，存在以下一些标准：

　　1.当r→1或者r→−1时,表示y与x高度线性相关，于是由原始数据描绘出的散点图中所有数据点都分布在一条直线的附近，分别称为正相关和负相关；

　　2。当r→0时，表示y与x不相关，由原始数据描绘出的散点图的数据点一般呈无规律的特点四散分布；

　　3。当−1<r<0或者0〈r<1时,y与x的相关程度介于1与2之间；

　　4。如果r→1，则y与x线性相关程度越高；反之，如果r→0,则y与x线性相关程度越低.

　　实际计算r值的过程中,长列表计算，即：

　　在实际问题中，一般要保证回归方程有最低程度的线性相关.因为许多实际问题中，两个变量之间并非线性的相关关系,或者说线性相关程度不高，此时硬给他建立线性回归方程，显然没有太大意义，也没有什么实用价值。

　　一般来说，把这个最低限度的值记为临界值，称之为相关性检验标准。因此，如果计算

　　出r的值,并且满足

　　，则符合相关性要求，线性回归方程作用显著。反之，如果

　　,则线性回归方程作用不显著，就尽量不要采用线性回归方程。临界值的数值表如下：

　　其中，自由度可以由原始数据点的个数减去相应的回归方程的变量个数，例如线性回归方程中有两个变量，而数据点的个数为n个,则自由度为n−2.自由度一般记为f，但不要与一般的函数发生混淆。显著性水平一般取为0。01,0.02，0.05等,利用它可以计算y与x之间相关关系的可信程度或者称为置信水平，计算公式为:

　　(这里取显著性水平为α=0.05)

　　现在介绍置信区间的问题，由于实际误差的存在，由线性拟合得到的计算值跟实际值之间必

　　然存在一定的差距，其差值就是计算误差.假设原始数据点为

　　,计算得到的数据点为

　　，再给定附近的一个区间：也可能落在这个区间外。如果所有的这些区间

　　则实际值yi可能落在这个区间内，

　　（以为中心,长度为）包含实际值的个数占总数的比例达到95%或者以上,则称这些区间的置信水平不少于95％

　　根据以上的分析,可以知道置信区间的概念，如果确定了置信水平为95%，从而可以找到相

　　应的最小的Δt值，使得95％以上的实际值落在区间

　　内，则

　　称为预测值满足置信水平95％的置信区间。一般情况下，如果不做特别说明，置信区间的相应置信水平默认为95％,置信区间反映了回归方程的适用范围和精确度,特别的,当所有离散数据分布在回归曲线的附件，大致呈现为正态分布时，置信区间为：

　　其中S为该回归模型的标准差，计算公式为：

　　或者为:

　　那么，如果回归方程为y=a+bx,则有两条控制直线分别为

　　和

　　，他们代表了置信区间的上限和下限，如下图所示:

　　那么,可以预料实际的数据点几乎全部（至少95％）落在上图两条虚线所夹的区域内。

　　这里对回归方程的应用做一个总结:

　　1。估计、预测指标值.对于因子x的一个给定值x0,代入回归预测方程即可求出相应的指

　　标值

　　，称为指标y0的点估计,相应预测误差为

　　但是，真实指标y0

　　的值一般无法确知，预测精度只能根据回归误差来做估计。在回归预测中,预测的精度可以

　　用均方差和标准差的比值来估计;

　　2.估计指标值范围。估计指标值的范围，就是求给定x0，相应于某个给定的置信水平的置信区间.具体的求法，要应用到t分布；

　　3.控制因子取值。在某些实际问题中，特别当因子值可以人为的控制、调解时，也可以根据所要达到的指标值，反过来推出因子的取值，这就是因子值的控制.

篇十四：应用回归分析心得体会

P>　　一、什么是回归分析

　　回归分析(RegressionAnalysis）是研究变量之间作用关系的一种统计分析方法，其基本组成是一个(或一组）自变量与一个(或一组）因变量。回归分析研究的目的是通过收集到的样本数据用一定的统计方法探讨自变量对因变量的影响关系，即原因对结果的影响程度。

　　回归分析是指对具有高度相关关系的现象，根据其相关的形态，建立一个适当的数学模型（函数式)，来近似地反映变量之间关系的统计分析方法。利用这种方法建立的数学模型称为回归方程，它实际上是相关现象之间不确定、不规则的数量关系的一般化.

　　二、回归分析的种类

　　2。按回归方程的表现形式不同,可分为线性回归分析和非线性回归分析

　　若变量之间是线性相关关系，可通过建立直线方程来反映，这种分析叫线性回归分析。

　　若变量之间是非线性相关关系，可通过建立非线性回归方程来反映，这种分析叫非线性回归分析。

　　三、回归分析的主要内容

　　1。建立相关关系的数学表达式。依据现象之间的相关形态，建立适当的数学模型,通过数学模型来反映现象之间的相关关系,从数量上近似地反映变量之间变动的一般规律。

　　2。依据回归方程进行回归预测。由于回归方程反映了变量之间的一般性关系，因此当自变量发生变化时，可依据回归方程估计出因变量可能发生相应变化的数值。因变量的回归估计值，虽然不是一个必然的对应值(他可能和系统真值存在比较大的差距），但至少可以从一般性角度或平均意义角度反映因变量可能发生的数量变化。

　　四、一元线性回归分析

　　1。一元线性回归分析的特点

　　1）两个变量不是对等关系，必须明确自变量和因变量。

　　2）如果x和y两个变量无明显因果关系,则存在着两个回归方程：一个是以x为自变量，y

　　为因变量建立的回归方程；另一个是以y为自变量,x为因变量建立的回归方程。若绘出图形，则是两条斜率不同的回归直线.3）直线回归方程中，回归系数b可以是正值，也可以是负值。若0b〉，表示直线上升，说明两个变量同方向变动;若0b<,表示直线下降，说明两个变量是反方向变动.2。建立一元线性回归方程的条件任何一种数学模型的运用都是有前提条件的,配合一元线性回归方程应具备以下两个条件:1)两个变量之间必须存在高度相关的关系。两个变量之间只有存在着高度相关的关系，回归方程才有实际意义.2)两个变量之间确实呈现直线相关关系。两个变量之间只有存在直线相关关系，才能配合直线回归方程。

　　3。建立一元线性回归方程的方法一元线性回归方程是用于分析两个变量（一个因变量和一个自变量）线性关系的数学表达式，一般形式为：yc=a+bx式中：x代表自变量;yc代表因变量y的估计值(又称理论值）；ab为回归方程参数。其中,a是直线在y轴上的截距，它表示当自变量x等于0时，因变量所达到的数值；b是直线的斜率,在回归方程中亦称为回归系数，它表示当自变量x每变动一个单位时，因变量y平均变动的数值。一元线性回归方程应根据最小二乘法原理建立，因为只有用最小二乘法原理建立的回归方程才可以同时满足两个条件：

　　1)因变量的实际值与回归估计值的离差之和为零；2)因变量的实际值与回归估计值的离差平方和为最小值。只有满足这两个条件，建立的直线方程的误差才能最小，其代表性才能最强。

　　现在令要建立的一元线性回归方程的标准形式为yc=a+bx，依据最小二乘法原理,因变量实际值y与估计值yc的离差平方和为最小值，即Q=∑（y—yc）2取得最小值。为使Q=∑（y—yc)2=最小值

　　根据微积分中求极值的原理,需分别对a,b求偏导数,并令其为0,经过整理,可得到如下方程

　　组：∑y=an+b∑x∑xy=a∑x+b∑x2解此方程组，可求得a，b两个参数

　　4.计算估计标准误差回归方程只反映变量x和y之间大致的、平均的变化关系。因此,对每一个给定的x值，回归方程的估计值yc与因变量的实际观察值y之间总会有一定的离差，即估计标准误差。估计标准误差是因变量实际观察值y与估计值yc离差平方和的平均数的平方根，它反映因变量实际值y与回归直线上各相应理论值yc之间离散程度的统计分析指标。估计标准误差：

　　式中:sy—-估计标准误差；y——因变量实际观察值；yc——因变量估计值;n-2—-自由度如何描述两个变量之间线性相关关系的强弱?利用相关系数r来衡量

　　当r>0时，表示x与y为正相关；当r〈0时，表示x与y为负相关.

　　5。残差分析与残差图：

　　残差是指观测值与预测值(拟合值）

　　之间的差，即是实际观察值与回归估计值的差

　　在研究两个变量间的关系时，a）要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关;

　　b）判断是否可以用回归模型来拟合数据；c）可以通过残差来判断模型拟合的效果,判断原始数据中是否存在可疑数据,这方面的分析工作就称为残差分析。6.残差图的制作及作用。坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带状区域，带状区域的宽度越窄精度越高。对于远离横轴的点，要特别注意。

　　7。几点注解:第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误.如果数据采集有错误，就应该予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因.另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄,说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高.还可以用判定系数r2来刻画回归的效果，该指标测度了回归直线对观测数据的拟合程度，其计算公式是：

　　其中:SSR—回归平方和;SSE—残差平方和；Sst=ssr+sse总离差平方和。由公式知,R（相关指数）的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。在

　　含有一个解释变量的线性模型中r2恰好等于相关系数r的平方，即R2=r2在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率。R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解释变量和预报变量的线性相关性越强)。如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。总的来说：相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中,它代表自变量刻画预报变量的能力。五、多元线性回归分析在一元线性回归分析中，因变量y只受某一个因素的影响，即只由一个自变量x来估计。但对于复杂的自然界中的问题，影响因素往往很多，在这种情况下，因变量y要用多个自变量同时进行估计。例如，某种产品的总成本不仅受原材料价格的影响,而且也与产品产量、管理水平等因素有关；农作物产量的髙低受品种、气候、施肥量等多个因素的影响。描述因变量与两个或两个以上自变量之间的数量关系的回归分析方法称为多元线性回归分析。它是一元线性回归分析的推广，其分析过程相对复杂一些,但基本原理与一元线性回归分析类似。多元线性回归方程的一般表达式为:

　　为便于分析，当自变量较多时可选用两个主要的自变量x1和x2.其线性回归方程标准式为：

　　其中:yc为二元回归估计值；a为常数项；b1和b2分别为y对x1和x2的回归系数，b1表示当自变量x2为一定时，由于自变量x1变化一个单位而使y平均变动的数值，b2表示当自变量x1为一定时，由于自变量x2变化一个单位而使y平均变动的数值，因此，b1和b2称为偏回归系数。要建立二元回归方程，关键问题是求出参数a，b1和b2的值，求解方法仍用最小二乘法，即分别对a，b1和b2求偏导数，并令函数的一阶导数等于零,可得如下方程组：

　　(二)

　　在回归分析中，通常称自变量为回归因子，一般用

　　般用

　　表示。预测公式：

　　表示,而称因变量为指标，一，称之为回归方程.回归

　　模型，按照各种原则可以分为各种模型：1.当n=1时，称为一元(单因子)回归；当n≥2时，称为多元(多因子）回归。2。当f为线性函数时,称为线性回归；当f为非线性函数时,称为非线性（曲线）回归。最小二乘准则：

　　假设待定的拟合函数为

　　，另据m个数据点，相当于求解以下规划问题：

　　即使得总离差平方和最小。具体在线性拟合的过程中，假设拟合函数为y=a+bx，a与b为待

　　定系数，已知有m个数据点，分别为

　　,应用最小二乘法，就是要使：

　　达到最小值。把S看成自变量为a和b的连续函数，则根据连续函数达到及致电的必要条件,于是得到：

　　因此，当S取得最小值时，有：

　　可得方程组为:称这个方程组为正规方程组，解这个二元一次方程组，得到：

　　如果把已有数据描绘成散点图，而且从散点图中可以看出,各个数据点大致分布在一条直线

　　附近，不妨设他们满足线性方程：待定系数;ε成为误差项或者扰动项.

　　其中，x为自变量，y为因变量，a与b为

　　这里要对数据点做线性回归分析，从而a和b就是待定的回归系数，ε为随机误差。

　　不妨设得到的线性拟合曲线为：

　　这就是要分析的线性回归方程。一般情况下，得到这个方程以后,主要是描绘出

　　回归曲线，并且观测拟合效果和计算一些误差分析指标，例如最大点误差、总方差和标准差等.

　　这里最缺乏的就是一个统一的评价系统，以下说明从概率角度确立的关于线性回归的一套评价系统。

　　在实际的线性回归分析中，除了估计出线性回归系数a和b，还要计算y和x的相关程度，即相关性检验.相关性检验主要通过计算相关系数来分析，相关系数的计算公式为：

　　其中n为数据点的个数，

　　为原始数据点，r的值能够很好地反映出线性相关程度的

　　高低,一般来说，存在以下一些标准:

　　1。当r→1或者r→−1时,表示y与x高度线性相关，于是由原始数据描绘出的散点图中所有数据点都分布在一条直线的附近，分别称为正相关和负相关；

　　2。当r→0时,表示y与x不相关，由原始数据描绘出的散点图的数据点一般呈无规律的特点四散分布；

　　3。当−1<r〈0或者0<r<1时，y与x的相关程度介于1与2之间;

　　4。如果r→1,则y与x线性相关程度越高；反之，如果r→0,则y与x线性相关程度越低.

　　实际计算r值的过程中，长列表计算，即：

　　在实际问题中，一般要保证回归方程有最低程度的线性相关。因为许多实际问题中，两个变量之间并非线性的相关关系,或者说线性相关程度不高，此时硬给他建立线性回归方程，显然没有太大意义，也没有什么实用价值。

　　一般来说，把这个最低限度的值记为临界值,称之为相关性检验标准。因此，如果计算出

　　r的值,并且满足

　　，则符合相关性要求，线性回归方程作用显著。反之,如果

　　，则线性回归方程作用不显著，就尽量不要采用线性回归方程。临界值的数值表如下：

　　其中，自由度可以由原始数据点的个数减去相应的回归方程的变量个数，例如线性回归方程中有两个变量,而数据点的个数为n个,则自由度为n−2.自由度一般记为f，但不要与一般的函数发生混淆。显著性水平一般取为0.01,0。02，0.05等，利用它可以计算y与x之间相关关系的可信程度或者称为置信水平，计算公式为：

　　(这里取显著性水平为α=0.05)

　　现在介绍置信区间的问题，由于实际误差的存在，由线性拟合得到的计算值跟实际值之间必

　　然存在一定的差距，其差值就是计算误差.假设原始数据点为

　　,计算得到的数据点为

　　,再给定附近的一个区间：也可能落在这个区间外.如果所有的这些区间

　　则实际值yi可能落在这个区间内，

　　(以为中心，长度为)包含实际值的个数占总数的比例达到95％或者以上，则称这些区间的置信水平不少于95%

　　根据以上的分析，可以知道置信区间的概念，如果确定了置信水平为95%，从而可以找到相

　　应的最小的Δt值，使得95%以上的实际值落在区间

　　内，则

　　称为预测值满足置信水平95%的置信区间。一般情况下，如果不做特别说明，置信区间的相应置信水平默认为95%，置信区间反映了回归方程的适用范围和精确度,特别的,当所有离

　　散数据分布在回归曲线的附件,大致呈现为正态分布时,置信区间为：为该回归模型的标准差，计算公式为：

　　其中S

　　或者为：

　　那么，如果回归方程为y=a+bx，则有两条控制直线分别为

　　和

　　,他们代表了置信区间的上限和下限，如下图所示：

　　那么，可以预料实际的数据点几乎全部（至少95％)落在上图两条虚线所夹的区域内。

　　这里对回归方程的应用做一个总结:

　　1。估计、预测指标值。对于因子x的一个给定值x0，代入回归预测方程即可求出相应

　　的指标值

　　，称为指标y0的点估计，相应预测误差为

　　但是,真实指

　　标y0的值一般无法确知，预测精度只能根据回归误差来做估计.在回归预测中，预测的精度

　　可以用均方差和标准差的比值来估计；

　　2。估计指标值范围。估计指标值的范围，就是求给定x0，相应于某个给定的置信水平的置信区间。具体的求法，要应用到t分布;

　　3。控制因子取值。在某些实际问题中，特别当因子值可以人为的控制、调解时，也可以根据所要达到的指标值,反过来推出因子的取值，这就是因子值的控制。

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